Question

12．如图1，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数$y=\frac{k}{x}（k＞0）$的图象上．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当m=3时，求直线AM的解析式，并求出△AOM的面积；
（3）如图2，当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（1，6）代入y=$\frac{k}{x}$，求出k即可得出结果；
（2）先确定M的坐标，用待定系数法即可求出直线AM的解析式；再求出直线AM与x轴的交点坐标，△AOM的面积=梯形ABON的面积减去△AOB和△OMN的面积；
（3）当m＞1时，用待定系数法求出直线BP和AM的常数k、a的值即可确定位置关系．

解答 解：（1）把A（1，6）代入得：6=$\frac{k}{1}$，
∴k=6，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{6}{x}$；
（2）如图2所示：当m=3时，n=$\frac{6}{3}$=2，
∴M（3，2），
设直线AM的解析式为：y=kx+b；
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=6}\\{3k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=-2，b=8，
∴直线AM的解析式为：y=-2x+8；
当y=0时，x=4，
∴直线AM与x轴的交点为N（4，0），
∴△AOM的面积=梯形ABON的面积-△AOB的面积-△OMN的面积
=$\frac{1}{2}$（1+4）×6-$\frac{1}{2}$×1×6-$\frac{1}{2}$×4×2=8；
（3）当M＞1时，BP∥AM；理由如下：
根据题意得：P（m，0），M（m，$\frac{6}{m}$），B（0，6），
设直线BP的解析式为：y=kx+b，
把点B（0，6），P（m，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=6}&{\;}\\{mk+b=0}&{\;}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{6}{m}$；
设直线AM的解析式为：y=ax+c，
把点（1，6），M（m，$\frac{6}{m}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+c=6}\\{am+c=\frac{6}{m}}\end{array}\right.$，
解得a=-$\frac{6}{m}$，
∵k=a=-$\frac{6}{m}$，
∴直线BP与直线AM的位置关系是BP∥AM．

点评 本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数解析式的求法、用待定系数法确定一次函数的解析式、三角形面积的计算方法等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要用待定系数法求几个一次函数的解析式和确定点的坐标；用待定系数法确定一次函数的解析式是解决问题的关键．