【题目】如图,抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A,B两点,交x轴与D,C两点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).
(Ⅰ)求抛物线的解析式和tan∠BAC的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下:
(1)P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q,问:是否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ACB相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)设E为线段AC上一点(不含端点),连接DE,一动点M从点D出发,沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点,再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止,当点E的坐标是多少时,点M在整个运动中用时最少?
【答案】(Ⅰ)y=x2﹣x+3.tan∠BAC=;(Ⅱ)(1)(11,36)、(,)、(,);(2)点E的坐标为(2,1).
【解析】
(Ⅰ)只需把A、C两点的坐标代入y=x2+mx+n,就可得到抛物线的解析式,然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标,过点B作BH⊥x轴于H,如图1.易得∠BCH=∠ACO=45°,BC=,AC=3,从而得到∠ACB=90°,然后根据三角函数的定义就可求出tan∠BAC的值;
(Ⅱ)(1)过点P作PG⊥y轴于G,则∠PGA=90°.设点P的横坐标为x,由P在y轴右侧可得x>0,则PG=x,易得∠APQ=∠ACB=90°.若点G在点A的下方,①当∠PAQ=∠CAB时,△PAQ∽△CAB.此时可证得△PGA∽△BCA,根据相似三角形的性质可得AG=3PG=3x.则有P(x,3-3x),然后把P(x,3-3x)代入抛物线的解析式,就可求出点P的坐标②当∠PAQ=∠CBA时,△PAQ∽△CBA,同理,可求出点P的坐标;若点G在点A的上方,同理,可求出点P的坐标;(2)过点E作EN⊥y轴于N,如图3.易得AE=EN,则点M在整个运动中所用的时间可表示为.作点D关于AC的对称点D′,连接D′E,则有D′E=DE,D′C=DC,∠D′CA=∠DCA=45°,从而可得∠D′CD=90°,DE+EN=D′E+EN.根据两点之间线段最短可得:当D′、E、N三点共线时,DE+EN=D′E+EN最小.此时可证到四边形OCD′N是矩形,从而有ND′=OC=3,ON=D′C=DC.然后求出点D的坐标,从而得到OD、ON、NE的值,即可得到点E的坐标.
解:(Ⅰ)把A(0,3),C(3,0)代入y=x2+mx+n,得
,解得:.
∴抛物线的解析式为y=x2-x+3.
联立,解得:或,
∴点B的坐标为(4,1).
过点B作BH⊥x轴于H,如图1.
∵C(3,0),B(4,1),
∴BH=1,OC=3,OH=4,CH=4-3=1,
∴BH=CH=1.
∵∠BHC=90°,
∴∠BCH=45°,BC=.
同理:∠ACO=45°,AC=3,
∴∠ACB=180°-45°-45°=90°,
∴tan∠BAC=;
(Ⅱ)(1)存在点P,使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ACB相似.
过点P作PG⊥y轴于G,则∠PGA=90°.
设点P的横坐标为x,由P在y轴右侧可得x>0,则PG=x.
∵PQ⊥PA,∠ACB=90°,
∴∠APQ=∠ACB=90°.
若点G在点A的下方,
①如图2①,当∠PAQ=∠CAB时,则△PAQ∽△CAB.
∵∠PGA=∠ACB=90°,∠PAQ=∠CAB,
∴△PGA∽△BCA,
∴.
∴AG=3PG=3x.
则P(x,3-3x).
把P(x,3-3x)代入y=x2-x+3,得
x2-x+3=3-3x,
整理得:x2+x=0
解得:x1=0(舍去),x2=-1(舍去).
②如图2②,当∠PAQ=∠CBA时,则△PAQ∽△CBA.
同理可得:AG=PG=x,则P(x,3-x),
把P(x,3-x)代入y=x2-x+3,得
x2-x+3=3-x,
整理得:x2-x=0
解得:x1=0(舍去),x2=,
∴P(,);
若点G在点A的上方,
①当∠PAQ=∠CAB时,则△PAQ∽△CAB,
同理可得:点P的坐标为(11,36).
②当∠PAQ=∠CBA时,则△PAQ∽△CBA.
同理可得:点P的坐标为P(,).
综上所述:满足条件的点P的坐标为(11,36)、(,)、(,);
(2)过点E作EN⊥y轴于N,如图3.
在Rt△ANE中,EN=AEsin45°=AE,即AE=EN,
∴点M在整个运动中所用的时间为.
作点D关于AC的对称点D′,连接D′E,
则有D′E=DE,D′C=DC,∠D′CA=∠DCA=45°,
∴∠D′CD=90°,DE+EN=D′E+EN.
根据两点之间线段最短可得:
当D′、E、N三点共线时,DE+EN=D′E+EN最小.
此时,∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°,
∴ND′=OC=3,ON=D′C=DC.
对于y=x2-x+3,
当y=0时,有x2-x+3=0,
解得:x1=2,x2=3.
∴D(2,0),OD=2,
∴ON=DC=OC-OD=3-2=1,
∴NE=AN=AO-ON=3-1=2,
∴点E的坐标为(2,1).
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【题目】如图,已知△ABC和△DEF,点E在BC边上,点A在DE边上,边EF和边AC相交于点G.如果AE=EC,∠AEG=∠B,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△DEF与△ABC一定相似的是( )
A. B. C. D.
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【题目】小甬工作的办公楼(矩形ABCD)前有一旗杆MN,MN⊥DN,旗杆高为12m,在办公楼底A处测得旗杆顶的仰角为30°,在办公楼天台B处测旗杆顶的仰角为45°,在小甬所在办公室楼层E处测得旗杆顶的俯角为15°.
(1)办公楼的高度AB;
(2)求小甬所在办公室楼层的高度AE.
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【题目】为迎接暑假旅游高峰的到来,某旅游纪念品商店决定购进A、B两种纪念品.若购进A种纪念品7件,B种纪念品4件,需要760元;若购进A种纪念品5件.B种纪念品8件,需要800元.
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元?
(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件.考虑市场需求和资金周转,这100件纪念品的资金不少于7000元,但不超过7200元,那么该商店共有几种进货方案?
(3)若销售A种纪念品每件可获利润30元,B种纪念品每件可获利润20元,用(2)中的进货方案,哪一种方案可获利最大?最大利润是多少元?
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【题目】(阅读):数学中,常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方法计算,从而建立相等关系,我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称做富比尼原理,是一种重要的数学思想.
(理解):(1)如图,两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形.用两种不同的方法计算梯形的面积,并写出你发现的结论;
(2)如图2,行列的棋子排成一个正方形,用两种不同的方法计算棋子的个数,可得等式:________;
(运用):(3)边形有个顶点,在它的内部再画个点,以()个点为顶点,把边形剪成若干个三角形,设最多可以剪得个这样的三角形.当,时,如图,最多可以剪得个这样的三角形,所以.
①当,时,如图, ;当, 时,;
②对于一般的情形,在边形内画个点,通过归纳猜想,可得 (用含、的代数式表示).请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立.
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【题目】已知:内接于,直径交边于点,.
(1)如图所示,求证:;
(2)如图所示,过点作于H,交于,交于点,连接,求证:;
(3)如图所示,在(2)的条件下,延长至点,连接、,过点作于,射线交于点,交于点,连接,,若,,求的半径.
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【题目】如图,的半径为交于点D,点C是上一动点,以BC为边向下作等边.
当点C运动到时,
求证:BC与相切;
试判断点A是否在上,并说明理由.
设的面积为S,求S的取值范围.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从A点出发,按A→B→C的方向在AB和BC上移动,记PA=x,点D到直线PA的距离为y,则y关于x的函数图象大致是( )
A.B.
C.D.
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