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【题目】如图,抛物线y=x2+mx+n与直线y=x+3交于AB两点,交x轴与DC两点,连接ACBC,已知A03),C30).

)求抛物线的解析式和tan∠BAC的值;

)在()条件下:

1Py轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点PPQ⊥PAy轴于点Q,问:是否存在点P使得以APQ为顶点的三角形与△ACB相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

2)设E为线段AC上一点(不含端点),连接DE,一动点M从点D出发,沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点,再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止,当点E的坐标是多少时,点M在整个运动中用时最少?

【答案】y=x2x+3tan∠BAC=;()(1)(1136)、()、();(2)点E的坐标为(21).

【解析】

)只需把AC两点的坐标代入y=x2+mx+n,就可得到抛物线的解析式,然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标,过点BBH⊥x轴于H,如图1.易得∠BCH=∠ACO=45°BC=AC=3,从而得到∠ACB=90°,然后根据三角函数的定义就可求出tan∠BAC的值;

)(1)过点PPG⊥y轴于G,则∠PGA=90°.设点P的横坐标为x,由Py轴右侧可得x0,则PG=x,易得∠APQ=∠ACB=90°.若点G在点A的下方,∠PAQ=∠CAB时,△PAQ∽△CAB.此时可证得△PGA∽△BCA,根据相似三角形的性质可得AG=3PG=3x.则有Px3-3x),然后把Px3-3x)代入抛物线的解析式,就可求出点P的坐标∠PAQ=∠CBA时,△PAQ∽△CBA,同理,可求出点P的坐标;若点G在点A的上方,同理,可求出点P的坐标;(2)过点EEN⊥y轴于N,如图3.易得AE=EN,则点M在整个运动中所用的时间可表示为.作点D关于AC的对称点D′,连接D′E,则有D′E=DED′C=DC∠D′CA=∠DCA=45°,从而可得∠D′CD=90°DE+EN=D′E+EN.根据两点之间线段最短可得:当D′EN三点共线时,DE+EN=D′E+EN最小.此时可证到四边形OCD′N是矩形,从而有ND′=OC=3ON=D′C=DC.然后求出点D的坐标,从而得到ODONNE的值,即可得到点E的坐标.

解:()把A03),C30)代入y=x2+mx+n,得

,解得:

抛物线的解析式为y=x2-x+3

联立,解得:

B的坐标为(41).

过点BBH⊥x轴于H,如图1

∵C30),B41),

∴BH=1OC=3OH=4CH=4-3=1

∴BH=CH=1

∵∠BHC=90°

∴∠BCH=45°BC=

同理:∠ACO=45°AC=3

∴∠ACB=180°-45°-45°=90°

∴tan∠BAC=

)(1)存在点P,使得以APQ为顶点的三角形与△ACB相似.

过点PPG⊥y轴于G,则∠PGA=90°

设点P的横坐标为x,由Py轴右侧可得x0,则PG=x

∵PQ⊥PA∠ACB=90°

∴∠APQ=∠ACB=90°

若点G在点A的下方,

如图2①,当∠PAQ=∠CAB时,则△PAQ∽△CAB

∵∠PGA=∠ACB=90°∠PAQ=∠CAB

∴△PGA∽△BCA

∴AG=3PG=3x

Px3-3x).

Px3-3x)代入y=x2-x+3,得

x2-x+3=3-3x

整理得:x2+x=0

解得:x1=0(舍去),x2=-1(舍去).

如图2②,当∠PAQ=∠CBA时,则△PAQ∽△CBA

同理可得:AG=PG=x,则Px3-x),

Px3-x)代入y=x2-x+3,得

x2-x+3=3-x

整理得:x2-x=0

解得:x1=0(舍去),x2=

∴P);

若点G在点A的上方,

∠PAQ=∠CAB时,则△PAQ∽△CAB

同理可得:点P的坐标为(1136).

∠PAQ=∠CBA时,则△PAQ∽△CBA

同理可得:点P的坐标为P).

综上所述:满足条件的点P的坐标为(1136)、()、();

2)过点EEN⊥y轴于N,如图3

Rt△ANE中,EN=AEsin45°=AE,即AE=EN

M在整个运动中所用的时间为

作点D关于AC的对称点D′,连接D′E

则有D′E=DED′C=DC∠D′CA=∠DCA=45°

∴∠D′CD=90°DE+EN=D′E+EN

根据两点之间线段最短可得:

D′EN三点共线时,DE+EN=D′E+EN最小.

此时,∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°

四边形OCD′N是矩形,

∴ND′=OC=3ON=D′C=DC

对于y=x2-x+3

y=0时,有x2-x+3=0

解得:x1=2x2=3

∴D20),OD=2

∴ON=DC=OC-OD=3-2=1

∴NE=AN=AO-ON=3-1=2

E的坐标为(21).

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A.B.

C.D.

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