Question

15．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．
（1）请判断△OEF的形状，并说明理由．
（2）当△OEF满足什么条件时，菱形ABCD是正方形．请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质可得AB=AD，AC⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EO=$\frac{1}{2}$AB，FO=$\frac{1}{2}$AD，进而可得EO=FO，从而证出△OEF是等腰三角形；
（2）当△OEF是等腰直角三角形时，菱形ABCD是正方形，首先根据三角形中位线定理可得EO∥AD，FO∥AB，然后可得四边形EOFA是平行四边形，再根据平行四边形对角相等可得∠EAF=∠EOF=90°，进而可得菱形ABCD是正方形．

解答 解：（1）△OEF是等腰三角形．理由如下：
∵四边形是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，
又∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴在Rt△ABO和Rt△ADO中，
EO=$\frac{1}{2}$AB，FO=$\frac{1}{2}$AD，
∴EO=FO，
∴△OEF是等腰三角形；

（2）当△OEF是等腰直角三角形时，菱形ABCD是正方形．
理由如下：
在菱形中，点O是AC、BD的中点，
又∵点E、F是AB，AD的中点，
∴EO、FO是△ABD的两条中位线，
∴EO∥AD，FO∥AB，
∴四边形EOFA是平行四边形，
∴∠EAF=∠EOF=90°，
∴菱形ABCD是正方形．

点评 此题主要考查了菱形的判定和性质，正方形的判定，以及三角形中位线定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分；有一个角是直角的菱形是正方形．