Question

10．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．
（1）求证：AD=AN；
（2）若AB=4$\sqrt{2}$，ON=1，求⊙O的半径；
（3）若S_△CMN：S_△ADN=1：8，且AE=4，求CM．

Answer 1

分析 （1）先根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，再由直角三角形的性质得出∠ANE=∠CNM，故可得出∠BCD=∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出结论；
（2）先根据垂径定理求出AE的长，设NE=x，则OE=x-1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x-1，连结AO，则AO=OD=2x-1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论；
（3）根据线段垂直平分线的判定得到AE平分ND，于是得到S_△AEN=S_△ADE通过△CMN∽△AEN，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，
∴∠BAD=∠BCD，
∵AE⊥CD，AM⊥BC，
∴∠AMC=∠AEN=90°，
∵∠ANE=∠CNM，
∴∠BCD=∠BAM，
∴∠BAM=BAD，
在△ANE与△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠BAD}\\{AE=AE}\\{∠AEN=∠AED}\end{array}\right.$，
∴△ANE≌△ADE，
∴AD=AN；
（2）解：∵AB=4$\sqrt{2}$，AE⊥CD，∴AE=2$\sqrt{2}$，
又∵ON=1，
∴设NE=x，则OE=x-1，NE=ED=x，
r=OD=OE+ED=2x-1
连结AO，则AO=OD=2x-1，
∵△AOE是直角三角形，AE=2$\sqrt{2}$，OE=x-1，AO=2x-1，
∴（2$\sqrt{2}$）²+（x-1）²=（2x-1）²，
解得x=2，
∴r=2x-1=3；

（3）解：∵AD=AN，AB⊥CD，
∴AE平分ND，
∴S_△AEN=S_△ADE
∵S_△CMN：S_△AND=1：8，
∴S_△CMN：S_△AEN=1：4，
又∵△CMN∽△AEN，
∴（$\frac{CM}{AE}$）²=$\frac{1}{4}$，
∵AE=4，
∴CM=2．

点评 本题考查的是垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．