Question

（1）如图1，点M（a，b）、N（c，d）都在双曲线y=

k

x

（k＞0）上，ME⊥y轴于E，NF⊥x轴于F．求证：MN∥EF．
（2）如图2，在（1）的条件下，只改变M、N的位置，请你猜想MN与EF的位置关系并加以证明．（要求先补全图形）

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）首先连接MF、NE，过M作MP⊥EF，过N作NQ⊥EF，则MP∥NQ，易得S_△MEF=S_△NEF，且同底边EF，即可证得PM=NQ，继而证得四边形MPQN为平行四边形，则可得MN∥EF．
（2）首先根据题意画出图形，然后利用（1）的方法可证得四边形MPQN为平行四边形，则可得MN∥EF．

解答：（1）证明：连接MF、NE，过M作MP⊥EF，过N作NQ⊥EF，则MP∥NQ，
∴S_△MEF=

1

2

ME•OE=

1

2

k；S_△NEF=

1

2

NF•OF=

1

2

k，
∴S_△MEF=S_△NEF，且同底边EF，
∴M，N到EF的距离相等，即PM=NQ，
∴四边形MPQN为平行四边形，
∴MN∥EF．

（2）如图，MN∥EF．
证明：连接MF、NE，过M作MP⊥EF，过N作NQ⊥EF，则MP∥NQ，
∴S_△MEF=

1

2

ME•OE=

1

2

k；S_△NEF=

1

2

NF•OF=

1

2

k，
∴S_△MEF=S_△NEF，且同底边EF，
∴M，N到EF的距离相等，即PM=NQ，
∴四边形MPQN为平行四边形，
∴MN∥EF．

点评：此题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数k的几何意义．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．