Question

已知Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB=12，D为射线AB上一动点，经过点C的⊙O与直线AB相切于点D，交射线AC于点E．
（1）如图1，当点O在边AC上时，求⊙O的半径；
（2）如图2，当CD平分∠ACB，求⊙O的半径；
（3）如图3，当D为线段AB延长线上一点，且CD=

3

BC时，则DE的值为

 

（直接写出结果）．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）连结OD，如图1，设⊙O的半径为r，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=

1

2

AB=6，AC=

3

BC=6

3

，再根据切线的性质得∠ADO=90°，在Rt△ADO中由于OD=

1

2

AO，则r=

1

2

（6

3

-r），即可解得r=2

3

；
（2）延长CO交AB于F，连结OD，如图2，设⊙O的半径为r，根据切线的性质得∠FDO=90°，再利用角平分线定义得到∠ACD=45°，由三角形外角性质有∠BDC=∠A+∠ACD=75°，则∠1=15°，所以∠1=∠2=15°，
可计算出∠3=30°，∠4=30°，于是有FA=FC，接着证明∠FCB=∠B得到FC=FB，所以FC=

1

2

AB=6；在Rt△ODE中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到DF=

3

3

r，OF=2DF=

2 3

3

r，然后根据CF=OC+OF得到

2 3

3

r+r=6，再解方程求出r即可；
（3）连结OD、OC，作DH⊥AE于H，如图3，根据切线的性质得∠ADO=90°，再由CD=

3

BC=6

3

得到CA=CD，
则∠ADC=∠A=30°，于是可计算出∠ODC=90°-∠ADC=60°，从而判断△ODC为等边三角形，得到∠COD=60°，根据圆周角定理得∠E=

1

2

∠COD=30°，接着证明BD=BC=6，然后证明△ABC∽△ADH，利用相似比计算出DH=9，最后在Rt△EDH中利用含30度的直角三角形三边的关系求DE．

解答：解：（1）连结OD，如图1，设⊙O的半径为r，
∵∠A=30°，∠C=90°，AB=12，
∴BC=

1

2

AB=6，AC=

3

BC=6

3

，
∵经过点C的⊙O与直线AB相切于点D，
∴OD⊥AD，
∴∠ADO=90°，
在Rt△ADO中，∵∠A=30°，
∴OD=

1

2

AO，即r=

1

2

（6

3

-r），解得r=2

3

，
即⊙O的半径为2

3

；
（2）延长CO交AB于F，连结OD，如图2，设⊙O的半径为r，
∵经过点C的⊙O与直线AB相切于点D，
∴OD⊥AD，
∴∠FDO=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=45°，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=75°，
∴∠1=90°-∠BDC=15°，
而OD=OC，
∴∠1=∠2=15°，
∴∠3=30°，∠4=∠ACD-∠2=30°，
∴FA=FC，
∵∠FCB=90°-∠4=60°=∠B，
∴FC=FB，
∴FC=

1

2

AB=6，
在Rt△ODE中，∵∠3=30°，OD=r，
∴DF=

3

3

r，
∴OF=2DF=

2 3

3

r，
∴CF=OC+OF，
即

2 3

3

r+r=6，解得r=12

3

-18，
即⊙O的半径为12

3

-18；
（3）连结OD、OC，作DH⊥AE于H，如图3，
∵经过点C的⊙O与直线AB相切于点D，
∴OD⊥AD，
∴∠ADO=90°，
∵CD=

3

BC=6

3

，
∴CA=CD，
∴∠ADC=∠A=30°，
∴∠ODC=90°-∠ADC=60°，
而OD=OC，
∴△ODC为等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠E=

1

2

∠COD=30°，
∵∠ABC=∠BDC+∠BCD=60°，
而∠BDC=30°，
∴∠BCD=30°，
∴BD=BC=6，
∵DH∥BC，
∴△ABC∽△ADH，
∴

BC

DH

=

AB

AD

，即

6

DH

=

12

12+6

，解得DH=9，
在Rt△EDH中，∵∠E=30°，
∴DE=2DH=18．
故答案为18．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线性质和等腰三角形的性质；会利用含30度的直角三角形三边的关系和相似比进行几何计算．