Question

如图（1），Rt△ABC和Rt△EFD中，AC与DE重合，AB=EF=1，∠BAC=∠DEF=90º，∠ ACB=∠EDF=30º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止。现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)

（1）问：始终与△AGC相似的三角形是　   　；

（2）设CG=x，BG=y，求y关于x的函数关系式；

（3）问：当x为何值时，△HGA是等腰三角形。

Answer 1

（1）△HGA。

（2）∵∠BAC =90º，∠ ACB =30º，AB =1，∴，即。∴。

                 又∵BC=2，∴。

                 ∴y关于x的函数关系式为。

            （3）由（1）知，△AGC∽△HGA，若△HGA是等腰三角形，则AGC也是等腰三角形。所以分两种情况：

①当CG=AG时，AG是Rt△ABC斜边上的中线， 此时，x=CG=BC=1。             

②当CG= CA时, x=CG=。

                 ∴当x=1或时，△AGH是等腰三角形。

【考点】面动旋转问题，含30度角直角三角形的性质，三角形内角和外角性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，由实际问题列函数关系式，分类思想的应用。

           （3）考虑CG=AG和CG= CA两种情况分别求解即可。