Question

如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=60°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．

（1）当BC=1时，求线段OD的长；

（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；

（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域。

Answer 1

（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=BC=。

                 又∵OB=2，∴。

（3）∵BD=x，∴。

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=60⁰。

∴∠DOE=∠2+∠3=30°。

如图2，过D作DF⊥OE，垂足为点F。

∴DF=OD=，OF=OD=。

由△BOD∽△EDF，得，即

，解得EF=x。

∴OE=。

∴。

【考点】垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质。