【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A(-1,0)、C(2,0),与y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点D
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;
(2)M(s,t)为抛物线对称轴上的一个动点,
①若平面内存在点N,使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形,直接写出点M的坐标;
②连接MA、MB,若∠AMB不小于60°,求t的取值范围.
【答案】(1)y=x2-x-,顶点坐标是(,)(2)①(,),(,-)或(,-)②≤t≤
【解析】
(1)根据二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A(-1,0)、C(2,0),可以求得该函数的解析式,然后将函数解析式化为顶点式,即可得到该函数的顶点坐标;
(2)①根据题意,画出相应的图形,然后利用分类讨论的方法即可求得点M的坐标;
②根据题意,构造一个圆,然后根据圆周角与圆心角的关系和∠AMB不小于60°,即可求得t的取值范围.
(1)∵二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A(-1,0)、C(2,0),
∴,得,
∴y=x2-x-=,
∴二次函数的表达式是y=x2-x-,顶点坐标是(,);
(2)①点M的坐标为(,),(,-)或(,-)
理由:当AM1⊥AB时,如右图1所示,
∵点A(-1,0),点B(0,-),
∴OA=1,OB=,
∴tan∠BAO==,
∴∠BAO=60°,
∴∠OAM1=30°,
∴tan∠OAM1=,
解得,DM1=,
∴M1的坐标为(,);
当BM3⊥AB时,
同理可得,,解得,DM3=,
∴M3的坐标为(,-);
当点M2到线段AB的中点的距离等于线段AB的一半时,
∵点A(-1,0),点B(0,-),
∴线段AB中点的坐标为(-),线段AB的长度是2,
设点M2的坐标为(,m),
则=1,解得,m=,
即点M2的坐标为(,-);
由上可得,点M的坐标为(,),(,-)或(,-);
②如图2所示,作AB的垂直平分线,于y轴交于点F,
由题意知,AB=2,∠BAF=∠ABO=30°,∠AFB=120°,
∴以F为圆心,AF长为半径作圆交对称轴于点M和M′点,
则∠AMB=∠AM′B=∠AFB=60°,
∵∠BAF=∠ABO=30°,OA=1,
∴∠FAO=30°,AF==FM=FM′,OF=,
过点F作FG⊥MM′于点G,
∵FG=,
∴MG=M′G=,
又∵G(,-),
∴M(,),M′(,),
∴≤t≤.
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【题目】如图,A是以BC为直径的⊙O上一点,过点B作⊙O的切线,与CA的延长线相交于点D,E是BD的中点,延长AE与CB的延长线相交于点F.
(1)求证:AF是⊙O的切线;
(2)若BE=5,BF=12,求CD的长.
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【题目】将直角三角形纸板OAB按如图所示方式放置在平面直角坐标系中,OB在x轴上,OB=4,OA=2将三角形纸板绕原点O逆时针旋转,每秒旋转60°,则第2019秒时,点A的对应点A ′ 的坐标为( )
A. (-3,-)B. (3,-)C. (-3,)D. (0,2)
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【题目】某校随机抽取部分学生,就“学习习惯”进行调查,将“对自己做错题进行整理、分析、改正”(选项为:很少、有时、常常、总是)的调查数据进行了整理,绘制成部分统计图如下:
请根据图中信息,解答下列问题:
(1)该调查的样本容量为________, =________%, =________%,“常常”对应扇形的圆心角的度数为__________;
(2)请你补全条形统计图;
(3)若该校有3200名学生,请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的
学生有多少名?
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【题目】有一种动画设计,屏幕上的长方形ABCD是黑色区域(含长方形的边界),其中A(﹣1,1)、B(2,1)、C(2,2),D(﹣1,2),用信号枪沿直线y=kx﹣2发射信号,当信号遇到黑色区域时,区域便由黑变白,则能够使黑色区域变白的k的取值范围是_____.
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【题目】如图,P,Q分别是双曲线在第一、三象限上的点,PA⊥轴,QB⊥轴,垂足分别为A,B,点C是PQ与轴的交点.设△PAB的面积为,△QAB的面积为,△QAC的面积为,则有( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,边OA,OC分别在x轴,y轴的正半轴上,把正方形OABC的内部及边上,横、纵坐标均为整数的点称为好点.点P为抛物线的顶点.
(1)当时,求该抛物线下方(包括边界)的好点个数.
(2)当时,求该抛物线上的好点坐标.
(3)若点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点,求m的取值范围.
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【题目】如图,平面内的两条直线l1、l2,点A、B在直线l2上,过点A、B两点分别作直线l1的垂线,垂足分别为A1、B1,我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影,其长度可记作T(AB,CD)或T(AB,l2),特别地,线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C,请依据上述定义解决如下问题.
(1)如图1,在锐角△ABC中,AB=5,T(AC,AB)=3,则T(BC,AB)= ;
(2)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,T(AC,AB)=4,T(BC,AB)=9,求△ABC的面积;
(3)如图3,在钝角△ABC中,∠A=60°,点D在AB边上,∠ACD=90°,T(AD,AC)=2,T(BC,AB)=6,求T(BC,CD).
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