Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA,OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线的顶点．

（1）当时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．

（2）当时，求该抛物线上的好点坐标．

（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）好点有：，，，和，共5个；（2），和；（3）.

【解析】

（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，画出函数图象，利用图象法解决问题即可；（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5，如图2，结合图象即可解决问题；（3）如图3中，抛物线的顶点P（m，m+2），推出抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，由点P在正方形内部，则0＜m＜2，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），求出抛物线经过点E或点F时Dm的值，即可判断．

解：（1）当时，二次函数的表达式为

画出函数图像（图1）

图1

当时，；当时，

抛物线经过点和

好点有：，，，和，共5个

（2）当时，二次函数的表达式为

画出函数图像（图2）

图2

当时，；当时，；当时，

该抛物线上存在好点，坐标分别是，和

（3）抛物线顶点P的坐标为

点P支直线上

由于点P在正方形内部，则

如图3，点，

图3

当顶点P支正方形OABC内，且好点恰好存在8个时，抛物线与线段EF有交点（点F除外）

当抛物线经过点时，

解得：，（舍去）

当抛物线经过点时，

解得：，（舍去）

当时，顶点P在正方形OABC内，恰好存在8个好点