如图1.点A都在反比例函数y= 的图象上.过点A作AC⊥x轴于C.过点B作BD⊥y轴于D． (1)求m的值和直线AB的函数关系式, (2)动点P从O点出发.以每秒2个单位长度的速度沿折线OD﹣DB向B点运动.同时动点Q从O点出发.以每秒1个单位长度的速度沿折线OC向C点运动.当动点P运动到D时.点Q也停止运动.设运动的时间为t秒� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图1，点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y= （x＞0）的图象上，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥y轴于D．

（1）求m的值和直线AB的函数关系式；

（2）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线OD﹣DB向B点运动，同时动点Q从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线OC向C点运动，当动点P运动到D时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒．

①设△OPQ的面积为S，写出S与t的函数关系式；

②如图2，当的P在线段OD上运动时，如果作△OPQ关于直线PQ的对称图形△O′PQ，是否存在某时刻t，使得点Q′恰好落在反比例函数的图象上？若存在，求Q′的坐标和t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y= 的图象上，

∴m=8×1=8，

∴y= ，

∴8= ，即n=1，

设AB的解析式为y=kx+b，

解：（1）∵点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y=的图象上，

∴m=8×1=8，

∴y=，

∴8=，即n=1，

设AB的解析式为y=kx+b，

把（8，1）、B（1，8）代入上式得：

，

解得：．

∴直线AB的解析式为y=﹣x+9；

（2）①由题意知：OP=2t，OQ=t，

当P在OD上运动时，

S===t²（0＜t≤4），

当P在DB上运动时，

S==t×8=4t（4＜t≤4.5）；

②存在，

作PE⊥y轴，O′F⊥x轴于F，交PE于E，

则∠E=90°，PO′=PO=2t，QO′=QO=t，

由题意知：∠PO′Q=∠POQ=90°﹣∠PO′E，

∠EPO′=90′﹣∠PO′E

∴△PEO′∽△O′FQ，

∴==，

设QF=b，O′F=a，

则PE=OF=t+b，OE=2t﹣a，

∴，

解得：a=，b=，

∴O′（t，t），

当Q′在反比例函数的图象上时，

，

解得：t=±，

∵反比例函数的图形在第一象限，

∴t＞0，

∴t=．

当t=个长度单位时，Q′恰好落在反比例函数的图象上．

本题主要考查了反比例函数的意义，利用图象和待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的意义和能数形结合是解决问题的关键．

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