Question

【题目】定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形．

（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCB﹣∠ADC=∠A，求证：四边形ABCD为圆内接倍角四边形；

（2）在（1）的条件下，⊙O半径为5．

①若AD为直径，且sinA=，求BC的长；

②若四边形ABCD中有一个角为60°，且BC=CD，则四边形ABCD的面积是　　；

（3）在（1）的条件下，记AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求证：d2﹣b2=ab+cd．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①BC＝6，②或；（3）见解析

【解析】

（1）先判断出∠ADC=180°﹣2∠A．进而判断出∠ABC=2∠A，即可得出结论；

（2）①先用锐角三角函数求出BD，进而得出AB，由（1）得出∠ADB=∠BDC，即可得出结论；

②分两种情况：利用面积和差即可得出结论；

（3）先得出BE=BC=b，DE=DA=b，进而得出CE=d﹣c，再判断出△EBC∽△EDA，即可得出结论．

（1）设∠A=α，则∠DCB=180°﹣α．

∵∠DCB﹣∠ADC=∠A，∴∠ADC=∠DCB﹣∠A=180°﹣α﹣α=180°﹣2α，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=2α=2∠A，∴四边形ABCD是⊙O内接倍角四边形；

（2）①连接BD．

∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°．在Rt△ABD中，AD=2×5=10，sin∠A=，∴BD=8，根据勾股定理得：AB=6，设∠A=α，∴∠ADB=90°﹣α．

由（1）知，∠ADC=180°﹣2α，∴∠BDC=90°﹣α，∴∠ADB=∠BDC，∴BC=AB=6；

②若∠ADC=60°时．

∵四边形ABCD是圆内接倍角四边形，∴∠BCD=120°或∠BAD=30°．

Ⅰ、当∠BCD=120°时，如图3，连接OA，OB，OC，OD．

∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠OCD=∠OCB=∠BCD=60°，∴∠CDO=60°，∴AD是⊙O的直径，（为了说明AD是直径，点O没有画在AD上）

∴∠ADC+∠BCD=180°，∴BC∥AD，∴AB=CD．

∵BC=CD，∴AB=BC=CD，∴△OAB，△BOC，△COD是全等的等边三角形，∴S四边形ABCD=3S△AOB=3××52=．

Ⅱ、当∠BAD=30°时，如图4，连接OA，OB，OC，OD．

∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD=180°﹣∠BAD=150°．

∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠BCO=∠DCO=∠BCD=75°，∴∠BOC=∠DOC=30°，∴∠OBA=45°，∴∠AOB=90°．

连接AC，∴∠DAC=∠BAD=15°．

∵∠ADO=∠OAB﹣∠BAD=15°，∴∠DAC=∠ADO，∴OD∥AC，∴S△OAD=S△OCD．

过点C作CH⊥OB于H．

在Rt△OCH中，CH=OC=，∴S四边形ABCD=S△COD+S△BOC+S△AOB﹣S△AOD=S△BOC+S△AOB=×5+×5×5=．

故答案为：或；

（3）延长DC，AB交于点E．

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCE=∠A=∠ABC．

∵∠ABC=∠BCE+∠A，∴∠E=∠BCE=∠A，∴BE=BC=b，DE=DA=b，∴CE=d﹣c．

∵∠BCE=∠A，∠E=∠E，∴△EBC∽△EDA，∴，∴，∴d2﹣b2=ab+cd．