Question

【题目】如图，在边长为的正方形中，动点分别以相同的速度从两点同时出发向点和点运动(任何一个点到达即停止)，连接与交于点，过点作交于点交于点，连接，则线段的最小值为________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由正方形的性质及条件可证明△ABE≌△BCF，即可得∠BAE＝∠CBF，再根据∠BAE＋∠BEA＝90°，可得∠CBF＋∠BEA＝90°，可得出∠APB＝90°，进而得到点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△BCG中，根据勾股定理，求出CG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段CP的最小值，即可得到线段的最小值．

解：∵动点F，E的速度相同，

∴DF＝CE，

又∵CD＝BC，

∴CF＝BE，

又∵AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴∠BAE＝∠CBF，

∵∠BAE＋∠BEA＝90°，

∴∠CBF＋∠BEA＝90°，

∴∠APB＝90°，

∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，

设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，

在Rt△BCG中，CG＝，

∵PG＝AB＝，

∴CP＝CGPG＝，

易得四边形NCMP是矩形，

∴MN＝CP，

∴线段MN的最小值为

故答案为：．