Question

【题目】如图，已知矩形，点是对角线上一点，连结，作，交于，

（1）若，则________________．

（2）连结若，则________________．

Answer 1

【答案】 1

【解析】

（1）过E点作AB的垂线，由正方形性质可得，解可得，再证明，从而可得FG=EH，进而求出，即可求出比值．

（2）由，可得，而，故FC垂直BD，有BEFC四点共圆而且FC为直径，由垂径定理可推出，进而可得BE=BC，再由30°直角三角形性质求出,可得DE=BC，从而计算比值．

解：（1）过E点作AB的垂线，垂足为G，交CD与H点，

∴四边形DBCH为矩形，

∴BG=CH，

在矩形中，，

∴矩形是正方形，

∴，

∴和均为等腰直角三角形，即：GE=BE、DH=DH，

∴ ，

又∵，即，

在中，，

∴,

在矩形BCHG中，HC=GB，

∴GE=HC，

又∵∠FEC=∠BGE=∠CHE=90°，

∴∠FEG=∠ECH

∴（ASA）

∴FG=EH，

∴，

∴

（2）以CF为直径作圆，

∵、∠ABC=90°，

∴B、E在圆上，

又∵，即，

∴，，

∴

又∵，

∴，

又∵FC是直径，

∴CF垂直平分BE，

∴，

∴，

∴,

∴．

故答案为：（1）；（2）1．