Question

【题目】如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，并过点作轴，垂足为．抛物线和反比例函数的图象都经过点，四边形的面积是．

求反比例函数、二次函数的解析式及抛物线的对称轴；

如图，点从点出发以每秒个单位的速度沿线段向点运动，点从点出发以相同的速度沿线段img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2019/05/12/08/1a8f9afd/SYS201905120854095644903087_ST/SYS201905120854095644903087_ST.023.png" width="24" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为秒．

①当为何值时，四边形为等腰梯形；

②设与对称轴的交点为，过点作轴的平行线交于点，设四边形的面积为，求面积关于时间的函数解析式，并指出的取值范围；当为何值时，有最大值或最小值．

Answer 1

【答案】 ,①当秒时，四边形为等腰梯形②当秒时，面积有最小值．

【解析】

（1）根据反比例函数的比例系数k的几何意义可求出k，从而可求出点B的坐标，然后运用待定系数法就可求出二次函数的解析式，由此可求出对称轴方程；
（2）①过点P作PE⊥OA，垂足为E，如图2，易证BC∥OA，要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB，只需QE=AD=1，由此即可求出t的值；②如图2，易证△MFP≌△MGQ，则有MF=MG，从而可求出S△BPN（用t表示），然后只需求出S四边形ABPQ，并运用割补法就可得到S关于t的函数解析式，然后只需利用该函数的增减性就可解决问题．

如图，

∵四边形的面积是

，

∴，

∴反比例函数的解析式为．

∵反比例函数的图象经过点，

∴，

解得．

∴．

将点，代入，得

解得：，

∴二次函数的解析式．

则抛物线的对称轴为；①由题意可知：．

∵点，点的纵坐标相等，

∴．

过点作，垂足为，如图．

要使四边形为等腰梯形，只需．

即．

又，

∴．

解得，

∴当秒时，四边形为等腰梯形．

②设对称轴与、轴的交点分别为、，如图．

∵对称轴是线段的垂直平分线，

∴．

又∵，

∴．

∵，

∴．

在和中，

∴，

∴，

∴

．

∵

，

∴

．

∵，，

∴点运动到点时停止运动，需要秒，

∴．

∵，

∴当秒时，面积有最小值．