Question

某工厂生产的某种产品按质量分为9个档次，产品的档次依次随质量提高而增加，生产第1档次（最低档次）的产品每天可生产120件，每件获利18元，每提高一个档次，产品每天的产量减少8件，每件利润增加6元，该工厂每天只能生产同一档次的产品．
（1）若某天生产第3档次的产品，则该档次的产品每件的利润为

 

元；
（2）若工厂生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中1≤x≤9，且x为正整数）．
①求y关于x的函数表达式；
②若工厂生产该产品一天的总利润最大，直接写出这天该产品的质量档次；
（3）若工厂生产该产品一天的总利润是3456元，求这天该产品的质量档次．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据“每件获利18元，每提高一个档次，产品每天的产量减少8件，每件利润增加6元”直接列出答案即可；
（2）①每件的利润为18+6（x-1），生产件数为120-8（x-1），则y=[18+6（x-1）][120-8（x-1）]；
②利用配方法求出二次函数的最值即可得出答案．
（3）由题意可令y=3456，求出x的实际值即可．

解答：解：（1）第3档次的产品每件的利润为：18+6×2=30元；

（2）①据题意可得y=[18+6（x-1）][120-8（x-1）]，
整理，得y=-48x²+672x+1536．
②∵y=-48x²+672x+1536=-48（x-7）²+3888，a=-48＜0，
∴当x=7时，y_最大=3888（元），

（3）当利润是3456元时，即3456=-48（x-7）²+3888，
解得x₁=4，x₂=10，
因为x=10＞9，不符合题意，舍去．
因此取x=4，
当生产产品的质量档次是在第4档次时，一天的总利润为3456元．

点评：本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．