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【题目】已知:在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线y=﹣x+bx轴交于点A,与y轴交于点C.经过点AC的抛物线yax2+3ax3x轴的另一个交点为点B

1)如图1,求a的值;

2)如图2,点DE分别在线段ACAB上,且BE2AD,连接DE,将线段DE绕点D顺时针旋转得到线段DF,且旋转角∠EDF=∠OAC,连接CF,求tanACF的值;

3)如图3,在(2)的条件下,当∠DFC135°时,在线段AC的延长线上取点M,过点MMNDE交抛物线于点N,连接DNEM,若MNDF,求点N的横坐标.

【答案】1a;(2;(3

【解析】

1)求出点A(﹣40),将点A的坐标代入二次函数表达式,即可求解;

2)证明ADE≌△GFD,即可求解;

3)证明DET≌△MSNAAS),则MSDTNSET ,设点Mx,﹣x3),则点Nx ),将点N的坐标代入二次函数表达式,即可求解.

解:(1yax2+3ax3,当x0y=﹣3,故点C0,﹣3),

将点C的坐标代入直线表达式并解得:b=﹣3

则直线AC的表达式为:y=﹣x3,则点A(﹣40),

将点A的坐标代入二次函数表达式并解得:a

2)在直线AC上取点G使DGAE,连接FG,过点FFHAC

∵∠FDC+FDE=∠BAC+AED,而∠BAC=∠EDF

∴∠FDH=∠AED

DGAEDFDE

∴△ADE≌△GFD

ADGF

ABAC5BE2AD

ADGFCG

tanBAC ,设FH3m,则HG4mFG5mGC

tanACF

3)如图3,过点DDRFCFC的延长线于点R,过点FFHCD交于点H

由(2)知tanACF

RtCDR中,设DRt,则CR3tCD10t

∵∠DFC135°,则DFR是等腰直角三角形,则FRDRt

CFCRCF2t

RtFHC中,tanACF

FH2tCH6tDHCDCH10t6t4t

tanFDHtanAED

RtADT中,tanBAC

设:DT3n,则AT4nAD5n

RtDTE中,tanAED

ET2DT6nBE2AD10n

AT+TE+BEAB,即4n+6n+10n5

解得:n

ETDT

MNEFDE,且MNDE

∴四边形MNDE为平行四边形,∴∠DEM=∠DNM

过点Nx轴的平行线交直线AC于点K,过点MMSNK于点S

则∠AEM=∠KND,∴∠TED=∠MNS

MNDE,∠ETD=∠MSN90°

∴△DET≌△MSNAAS),

MSDTNSET

设点Mx,﹣x3),则点Nx ),

将点N的坐标代入二次函数表达式得:

解得: (舍去负值),

故点N的横坐标为:

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