Question

如图，△ABC中，AC=10，∠BAC=30°，点P是射线AB上的一个动点，cos∠CPM=

4

5

，点Q是射线PM上的一个动点．则CQ长度的最小值是

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：动点型

分析：在△PCQ中，由cos∠CPM=

4

5

，可知当CP确定时则当CQ⊥PM时，CQ最小，而CP最小时则CQ也最小，故当CP⊥AN时，CP最小，由直角三角形的性质和三角函数的定义可求得CP的最小值为5，可求得CQ最小值为3．

解答：解：由题意可知当CP最小时，可知在△CPQ中当CQ⊥PM时，CQ有最小值，
当CP⊥AN，CQ⊥PM时，如图，
在Rt△APC中，AC=10，∠BAC=30°，∴PC=5，
在Rt△CPQ中，cos∠CPM=

4

5

，∴PQ=4，
则可求得CQ=3，
故答案为：3．

点评：本题主要考查直角三角形的性质及三角函数的定义，找到当CQ取得最小值时的点P和点Q的位置是解题的关键．