Question

【题目】如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点P在AD上，若△PBC为直角三角形，则CP的长为_____．

Answer 1

【答案】2或2或2

【解析】

分情况讨论：①当∠PBC＝90°时，P与A重合，由勾股定理得CP＝；②当∠BPC＝90°时，由勾股定理得22+AP2+22+（4﹣AP）2＝16，求出AP＝2，DP＝2，由勾股定理得出CP＝；③当∠BCP＝90°时，P与D重合，CP＝CD＝2．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，

分情况讨论：①当∠PBC＝90°时，P与A重合，

由勾股定理得：CP＝；

②当∠BPC＝90°时，

由勾股定理得：BP2＝AB2+AP2＝22+AP2，CP2＝CD2+DP2＝22+（4﹣AP）2，BC2＝BP2+CP2＝42，

∴22+AP2+22+（4﹣AP）2＝16，

解得：AP＝2，

∴DP＝2，

∴CP＝；

③当∠BCP＝90°时，P与D重合，CP＝CD＝2；

综上所述，若△PBC为直角三角形，则CP的长为或或2；

故答案为：2或2或2．