Question

14．数学课堂上，张老师写出了下面四个等式，仔细观察下列等式，你会发现什么规律：1×3+1=2²，2×4+1=3²，3×5+1=4²，4×6+1=5²，…
（1）请你按照这个规律再写出两个等式：5×7+1=6²、6×8+1=7²．
（2）请将你发现的规律用仅含字母n（n为正整数）的等式表示出来：你发现的规律是n（n+2）+1=（n+1）²．
（3）请你利用所学习的知识说明这个等式的正确性：∵n（n+2）+1=n²+2n+1，
（n+1）²=n²+2n+1，
∴n（n+2）+1=（n+1）²．

Answer 1

分析 （1）（2）两个相差为2的自然数相乘加1，等于这两个自然数平均数的平方，由此规律可解决问题；
（3）利用整式的计算方法计算验证正确性即可．

解答 解：（1）5×7+1=6²；
6×8+1=7²；
（2）n（n+2）+1=（n+1）²；
（3）∵n（n+2）+1=n²+2n+1，
（n+1）²=n²+2n+1，
∴n（n+2）+1=（n+1）²．
故答案为：（1）5×7+1=6²；6×8+1=7²；（2）n（n+2）+1=（n+1）²；（3）∵n（n+2）+1=n²+2n+1，（n+1）²=n²+2n+1，∴n（n+2）+1=（n+1）²．

点评 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．