【题目】已知△ABC中,∠CAB=90°,AC=AB=3,△CDE中,∠CDE=90°,CD=DE=5,连接BE,取BE中点F,连接AF、DF.
(1)如图1,若C、B、E三点共线,H为BC中点.
①直接指出AF与DF的关系 ;
②直接指出FH的长度 ;
(2)将图(1)中的△CDE绕C点逆时针旋转a(如图2,0°<α<180°),试确定AF与DF的关系,并说明理由;
(3)在(2)中,若AF=,请直接指出点F所经历的路径长.
【答案】(1)①AF=DF,且AF⊥DF;②;(2)结论:AF=DF,且AF⊥DF(3)当旋转30°或150°时,AF=,点F经历的路径长为或
【解析】
(1)①AF=DF,且AF⊥DF,如图1,过F作MN∥CD,交DE于M,交CA的延长线于N,根据已知条件易证四边形FMCN为矩形,再证△FNA≌△FMD,即可得DF=AF,∠AFN=∠FDM,再由∠FDM+∠MFD=90°,可得∠MFD+∠AFN=90°,即∠DFA=90°,所以DF⊥AF; ②因H是BC的中点,可得BH=BC,由FH=BF+BH即可解答;(2) AF=DF,且AF⊥DF,延长AF至S使FS=AF,连接DS、SE,延长SE交AC于T,先证△ABF≌△SEF,再证△SED≌△ACD,即可证得结论;(3) 分旋转30°或150°两种情况求点F所经历的路径长.
(1)①AF=DF,且AF⊥DF,
理由是:如图1,过F作MN∥CD,交DE于M,交CA的延长线于N,
∵△ABC是等腰直角三角形,且AC=3,
∴BC=3,
同理EC=5,
∵C、B、E三点共线,
∴EB=5﹣3=2,
∵F是BE的中点,
∴EF=BE=,
∵∠E=45°,
∴EM=FM=1,
∴DM=5﹣1=4,
∵∠ECD+∠ACB=45°+45°=90°
∴∠EDC=∠ACD=∠MNC=90°,
∴四边形MDCN是矩形,
∴CN=DM=4,MN=DC=5,
∴FN=DM=4,FM=AN=1,
∵∠DMF=∠FNA=90°,
∴△FNA≌△DMF,
∴DF=AF,∠AFN=∠FDM,
∵∠FDM+∠MFD=90°,
∴∠MFD+∠AFN=90°,
∴∠DFA=90°,
∴DF⊥AF;
②∵H是BC的中点,
∴BH=BC=,
∴FH=BF+BH=+=;
故答案为:①AF=DF,且AF⊥DF;②;
(2)结论:AF=DF,且AF⊥DF,
理由如下:
延长AF至S使FS=AF,连接DS、SE,延长SE交AC于T,
∵∠AFB=∠EFS,BF=EF,
∴△ABF≌△SEF,
∴AB=SE=AC,∠FAB=∠FSE,
∴∠STC=∠BAC=90°,
∴∠EDC+∠STC=180°,
∴∠TED+∠TCD=180°,
∵∠TED+∠SED=180°,
∴∠SED=∠ACD,
∵ED=CD,
∴△SED≌△ACD,
∴AD=SD,∠ADC=∠SDE,
∴∠ADS=90°,
∴AF=DF,且AF⊥DF;
(3)∵F是BE的中点,H是BC的中点,
∴FH是△BEC的中位线,
∴FH=EC=,
∵在旋转过程中,CE是定值,则FH也是定值,
∴点F的运动路径是以H为中点,以FH为半径的圆,
如图4,过D作DM⊥AC,交AC的延长线于M,
由(2)知:△AFD是等腰直角三角形,
∵AF=,
∴AD=×=7,
设CM=x,DM=y,
则,
解得:x=,
∴CM=,
∵CD=5,
∴∠CDM=30°,
∴∠DCM=60°,
∵∠ACB+∠DCE+∠BCE+∠DCM=180°,
∴∠BCE=30°,即α=30°,
此时,点F所经历的路径长==.
如图5,过D作DM⊥AC,交AC的延长线于M,
同理得:∠DCM=60°,
∵∠ECD=45°,
∴∠ECM=60°﹣45°=15°,
∴α=∠BCE=180°﹣45°+15°=150°,
此时,点F所经历的路径长==.
综上所述,当旋转30°或150°时,AF=,点F经历的路径长为或.
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【题目】抛物线上部分点的横坐标,纵坐标的对应值如下表:
… | … | ||||||
… | … |
根据上表填空:
①抛物线与轴的交点坐标是________和________;
②抛物线经过点,________;
③在对称轴右侧,随增大而________;
试确定抛物线的解析式.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,E、F分别是AB、BC边的中点,EP⊥CD于点P,∠BAD=110°,则∠FPC的度数是( )
A. 35° B. 45° C. 50° D. 55°
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【题目】如图,已知等腰三角形ABC的底角为30°,以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D,过D作DE⊥AC,垂足为E.
(1)证明:DE为⊙O的切线;
(2)若BC=4,求阴影部分的面积.
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【题目】在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点.已知反比例函数y=(m<0)与y=x2﹣4在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数为2,则实数m的取值范围为__.
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【题目】问题背景:我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.即:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,则:AC=AB.
探究结论:小明同学对以上结论作了进一步研究.
(1)如图1,连接AB边上中线CE,由于CE=AB,易得结论:①△ACE为等边三角形;②BE与CE之间的数量关系为 .
(2)如图2,点D是边CB上任意一点,连接AD,作等边△ADE,且点E在∠ACB的内部,连接BE.试探究线段BE与DE之间的数量关系,写出你的猜想并加以证明.
(3)当点D为边CB延长线上任意一点时,在(2)条件的基础上,线段BE与DE之间存在怎样的数量关系?请直接写出你的结论 .
拓展应用:如图3,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(﹣,1),点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等边△ABC,当C点在第一象限内,且B(2,0)时,求C点的坐标.
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【题目】在平面直角坐标系中有三个点A(-3,2)、B(-4,-3)、C(-1,-1)
(1)连接A、B、C三点,请在右图中作出△ABC关于x轴对称的图形△A/B/C/,并直接写出对称点A/,B/,C/的坐标;
(2)用直尺在纵轴上找到一点P(0,n)满足PB/+PA的值最小(在图中标明点P的位置,并写出n的值在哪两个连续整数之间).
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【题目】如图所示,E、F分别为线段AC上的两个点,且DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,若AB=CD,AE=CF,BD交AC于点M.
(1)试猜想DE与BF的关系,并证明你的结论;
(2)求证:MB=MD.
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