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【题目】已知ABC中,∠CAB=90°,AC=AB=3,△CDE中,CDE=90°,CD=DE=5,连接BE,取BE中点F,连接AF、DF.

(1)如图1,若C、B、E三点共线,H为BC中点.

直接指出AF与DF的关系   

直接指出FH的长度   

(2)将图(1)中的CDE绕C点逆时针旋转a(如图2,0°<α<180°),试确定AF与DF的关系,并说明理由;

(3)在(2)中,若AF=,请直接指出点F所经历的路径长.

【答案】(1)①AF=DF,且AF⊥DF;②;(2)结论:AF=DF,且AFDF(3)当旋转30°或150°时,AF=,点F经历的路径长为

【解析】

(1)①AF=DF,且AF⊥DF,如图1,过FMN∥CD,交DEM,交CA的延长线于N,根据已知条件易证四边形FMCN为矩形,再证△FNA≌△FMD,即可得DF=AF,∠AFN=∠FDM,再由∠FDM+∠MFD=90°,可得∠MFD+∠AFN=90°,∠DFA=90°,所以DF⊥AF; ②因HBC的中点,可得BH=BC,FH=BF+BH即可解答;(2) AF=DF,且AF⊥DF,延长AFS使FS=AF,连接DS、SE,延长SEACT,先证△ABF≌△SEF,再证△SED≌△ACD,即可证得结论;(3) 分旋转30°或150°两种情况求点F所经历的路径长.

(1)①AF=DF,且AF⊥DF,

理由是:如图1,过FMN∥CD,交DEM,交CA的延长线于N,

∵△ABC是等腰直角三角形,且AC=3,

∴BC=3

同理EC=5

∵C、B、E三点共线,

∴EB=5﹣3=2

∵FBE的中点,

∴EF=BE=

∵∠E=45°,

∴EM=FM=1,

∴DM=5﹣1=4,

∵∠ECD+∠ACB=45°+45°=90°

∴∠EDC=∠ACD=∠MNC=90°,

四边形MDCN是矩形,

∴CN=DM=4,MN=DC=5,

∴FN=DM=4,FM=AN=1,

∵∠DMF=∠FNA=90°,

∴△FNA≌△DMF,

∴DF=AF,∠AFN=∠FDM,

∵∠FDM+∠MFD=90°,

∴∠MFD+∠AFN=90°,

∴∠DFA=90°,

∴DF⊥AF;

②∵HBC的中点,

∴BH=BC=

∴FH=BF+BH=+=

故答案为:①AF=DF,且AF⊥DF;②

(2)结论:AF=DF,且AF⊥DF,

理由如下:

延长AFS使FS=AF,连接DS、SE,延长SEACT,

∵∠AFB=∠EFS,BF=EF,

∴△ABF≌△SEF,

∴AB=SE=AC,∠FAB=∠FSE,

∴∠STC=∠BAC=90°,

∴∠EDC+∠STC=180°,

∴∠TED+∠TCD=180°,

∵∠TED+∠SED=180°,

∴∠SED=∠ACD,

∵ED=CD,

∴△SED≌△ACD,

∴AD=SD,∠ADC=∠SDE,

∴∠ADS=90°,

∴AF=DF,且AF⊥DF;

(3)∵FBE的中点,HBC的中点,

∴FH△BEC的中位线,

∴FH=EC=

在旋转过程中,CE是定值,则FH也是定值,

F的运动路径是以H为中点,以FH为半径的圆,

如图4,过DDM⊥AC,交AC的延长线于M,

由(2)知:△AFD是等腰直角三角形,

∵AF=

∴AD=×=7,

CM=x,DM=y,

解得:x=

∴CM=

∵CD=5,

∴∠CDM=30°,

∴∠DCM=60°,

∵∠ACB+∠DCE+∠BCE+∠DCM=180°,

∴∠BCE=30°,即α=30°,

此时,点F所经历的路径长==

如图5,过DDM⊥AC,交AC的延长线于M,

同理得:∠DCM=60°,

∵∠ECD=45°,

∴∠ECM=60°﹣45°=15°,

∴α=∠BCE=180°﹣45°+15°=150°,

此时,点F所经历的路径长==

综上所述,当旋转30°150°时,AF=,点F经历的路径长为

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