Question

5．观察下列等式：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，…；$\frac{1}{1×5}$=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{5}$），$\frac{1}{5×9}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$）…
（1）猜想并写出：$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$；
（2）猜想并写出：$\frac{1}{9×13}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{9}-\frac{1}{13}$）；
（3）猜想并计算写出：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$=$\frac{4}{5}$；
（4）根据猜想计算：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{5×7}$+$\frac{1}{7×9}$+…+$\frac{1}{2009×2011}$+$\frac{1}{2011×2013}$．

Answer 1

分析 （1）、（2）观察所给算式，找出其中的规律，然后依据规律进行变形即可；
（3）、（4）先依据规律进行拆项，然后利用加法的运算规律进行计算即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$；
（2）$\frac{1}{9×13}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{9}-\frac{1}{13}$）；
（3）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+$$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$=1$-\frac{1}{5}$=$\frac{4}{5}$；
（4）$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{7×9}$+…+$\frac{1}{2009×2011}$+$\frac{1}{2011×2013}$
=$\frac{1}{2}$（1$-\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}（\frac{1}{2009}-\frac{1}{2011}）$+$\frac{1}{2}（\frac{1}{2011}-\frac{1}{2013}）$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}$-…+$\frac{1}{2011}$-$\frac{1}{2013}$）
=$\frac{1}{2}×$（1-$\frac{1}{2013}$）
=$\frac{1006}{2013}$．
故答案为：（1）$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$；（2）$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{9}-\frac{1}{13}$）；（3）$\frac{4}{5}$．

点评 本题主要考查的是数字的变化规律，找出所给算式蕴含的规律从是解题的关键．