Question

10．已知关于x的方程mx²-（m+2）x+2=0．
（1）m为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）在（1）的条件下，无论m为何值，方程的都会存在一个相同的根a，求a的值．

Answer 1

分析 （1）分两种情况①当m=0时，方程只有一个实数根，②当m≠0时，关于x的方程mx²-（m+2）x+2=0，有两个不相等的实数根，即可得到结论；
（2）由已知条件得到a为方程mx²-（m+2）x+2=0的根，代入求得（a²-a）m+（2-2a）=0，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-a=0}\\{2-2a=0}\end{array}\right.$，即可得到结论．

解答 解：（1）∵关于x的方程mx²-（m+2）x+2=0，
∴①当m=0时，方程只有一个实数根，
∴②当m≠0时，关于x的方程mx²-（m+2）x+2=0，有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即△=（m+2）²-4m•2=（m-2）²＞0，
∴m≠2，
∴综上当m≠0且m≠2时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵无论m为何值，方程的都会存在一个相同的根a，
∴a为方程mx²-（m+2）x+2=0的根，
则ma²-（m+2）a+2=0，
整理得：（a²-a）m+（2-2a）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-a=0}\\{2-2a=0}\end{array}\right.$，
解得：a=1．

点评 本题主要考查一元二次方程根的判别及根与系数的关系，掌握一元二次方程根的判别式与根的情况是解题的关键．