Question

5．数学活动--求重叠部分的面积．
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点C．求重叠部分（△DCG）的面积．
（1）独立思考：请解答老师提出的问题．
（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求出重叠部分（△DGH）的面积，请写出解答过程．
（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题．“爱心”小组提出的问题是：如图3，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN，求重叠部分（△DMN）的面积．任务：请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出△DMN的面积是$\frac{75}{16}$．

Answer 1

分析 （1）确定点G为AC的中点，从而△ADC为等腰三角形，其底边AC=8，底边上的高GD=$\frac{1}{2}$BC=3，从而面积可求；
（2）本问解法有多种，解答中提供了三种不同的解法．基本思路是利用相似三角形、勾股定理求解；
（3）对于爱心小组提出的问题，如答图4所示，作辅助线，利用相似三角形、勾股定理、等腰三角形的性质，列方程求解．

解答 解：（1）【独立思考】
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴DC=DA=DB，
∴∠B=∠DCB．
又∵△ABC≌△FDE，
∴∠FDE=∠B．
∴∠FDE=∠DCB，
∴DG∥BC．
∴∠AGD=∠ACB=90°，
∴DG⊥AC．
又∵DC=DA，
∴G是AC的中点，
∴CG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×8=4，DG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴S_△DGC=$\frac{1}{2}$CG•DG=$\frac{1}{2}$×4×3=6．
（2）【合作交流】如下图所示：
∵△ABC≌△FDE，
∴∠B=∠1．
∵∠C=90°，ED⊥AB，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°，
∴∠B=∠2，
∴∠1=∠2，
∴GH=GD．
∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠A=∠3，
∴AG=GD，
∴AG=GH，即点G为AH的中点．
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2+}{6}^{2}}$=10，
∵D是AB中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=5．
在△ADH与△ACB中，
∵∠A=∠A，∠ADH=∠ACB=90°，
∴△ADH∽△ACB，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{DH}{CB}$，即$\frac{5}{8}=\frac{DH}{6}$，解得DH=$\frac{15}{4}$，
∴S_△DGH=$\frac{1}{2}$S_△ADH=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×DH•AD=$\frac{1}{4}$×$\frac{15}{4}$×5=$\frac{75}{16}$．
（3）【提出问题】解决“爱心”小组提出的问题．
如答图4，过点D作DK⊥AC于点K，则DK∥BC，
又∵点D为AB中点，
∴DK=$\frac{1}{2}$BC=3．
∵DM=MN，
∴∠MND=∠MDN，由（2）可知∠MDN=∠B，
∴∠MND=∠B，
又∵∠DKN=∠C=90°，
∴△DKN∽△ACB，
∴$\frac{KN}{BC}=\frac{DK}{AC}$，即$\frac{KN}{6}=\frac{3}{8}$，得KN=$\frac{9}{4}$．
设DM=MN=x，则MK=x-$\frac{9}{4}$．
在Rt△DMK中，由勾股定理得：MK²+DK²=MD²，
即：（x-$\frac{9}{4}$）²+3²=x²，解得x=$\frac{25}{8}$，
∴S_△DMN=$\frac{1}{2}$MN•DK=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{8}$×3═$\frac{75}{16}$．

点评 本题是几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、等腰三角形、勾股定理、图形面积计算、解方程等知识点．题干信息量大，篇幅较长，需要认真读题，弄清题意与作答要求．试题以图形旋转为背景，在旋转过程中，重叠图形的形状与面积不断发生变化，需要灵活运用多种知识予以解决，有利于培养同学们的研究与探索精神，激发学习数学的兴趣，是一道好题．