Question

10．如图①，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转终止，不考虑旋转开始和结合时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它们的延长线）于G、H点，如图②．
（1）问：始终与△AGC相似的三角形有△HGA和△HAB；
（2）问：当CG为何值时，△AGH是等腰三角形？
（3）当∠GAC=15°时，BH=$\frac{27\sqrt{2}+9\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质与三角形外角的性质，易得∠GAC=∠H，然后由公共角相等，即可得△AGC∽△HGA；由∠B=∠ACG=45°，即可得△AGC∽△HAB；
（2）此题要采用分类讨论的思想，当CG＜$\frac{1}{2}$BC时，当CG=$\frac{1}{2}$BC时，当CG＞$\frac{1}{2}$BC时分别得出即可；
（3）作AP⊥BC，运用三角函数和勾股定理求出CG，然后根据相似三角形的对应边的比相等，列出BH和CG的关系式；

解答 解：（1）有△HGA和△HAB，
理由是：如图1，∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
△DEF中，∠DEF=90°，DE=EF
∴∠B=∠ACB=∠EDF=45°，
∴∠H+∠CAH=∠ACB=45°，∠GAC+∠CAH=∠EDF=45°，
∴∠H=∠GAC，∠EDF=∠ACB=∠B=45°，
∴△始终与△AGC相似的三角形有△HGA和△HAB，
故答案为：△HGA和△HAB；
（2）①当CG＜$\frac{1}{2}$BC时，∠GAC=∠H＜∠HAC，
∴AC＜CH，
∵AG＜AC，
∴AG＜CH＜GH，
又∵AH＞AG，AH＞GH，
此时，△AGH不可能是等腰三角形，
②当CG=$\frac{1}{2}$BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形，
此时，GC=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，即x=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
③当CG＞$\frac{1}{2}$BC时，由（1）△AGC∽△HGA，
∴，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在GH=AH，若GH=AH，则AC=CG，此时x=9，
如图2，当CG=BC时，
注意：DF才旋转到与BC垂直的位置，
此时B，E，G重合，∠AGH=∠GAH=45°，
∴△AGH为等腰三角形，所以CG=9$\sqrt{2}$．
综上所述，当x=9或x=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$或9$\sqrt{2}$时，△AGH是等腰三角形．
（3）$\frac{{27\sqrt{2}+9\sqrt{6}}}{2}$
如图2，作AP⊥BC，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=9，
∴AP=PC=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
又∵∠GAC=15°，∠ACB=45°，
∴∠AGP=60°，
∴PG=$\frac{AP}{tan60°}$=$\frac{\frac{9\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
∴CG=PC-PG=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$-$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
∵△AGC∽△HAB，
∴$\frac{CG}{AB}=\frac{AC}{BH}$
∴$\frac{\frac{9\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{6}}{2}}{9}=\frac{9}{BH}$，
解得：BH=$\frac{27\sqrt{2}+9\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：$\frac{27\sqrt{2}+9\sqrt{6}}{2}$．

点评 此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，综合性较强，难易程度适中，是一道很典型的题目．