Question

15．如图，⊙O₁与x轴交于A（1，0），B（5，0）两点，⊙O₁的半径为3．
（1）求点O₁的坐标；
（2）若将⊙O₁上下平移，将⊙O₁经过怎样的一次平移后，⊙O₁与x轴相切？

Answer 1

分析 （1）作O₁D⊥AB于D，交⊙O₁于C，根据垂径定理求出AD的长，从而得出OD的长，再由勾股定理求出O₁D的长，即可求得点O₁的坐标；
（2）根据O₁C和O₁D的长得出CD的长即可得出结论．

解答 解：（1）作O₁D⊥AB于D，交⊙O₁于C，
∴AD=BD，
∵A（1，0），B（5，0），
∴AB=4，
∴AD=2，
∴OD=1+2=3，
∵O₁A=3，
∴O₁D=$\sqrt{{O}_{1}{A}^{2}-{O}_{1}{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴O₁（3，$\sqrt{5}$）；
（2）∵O₁C=3，O₁D⊥AB，O₁D=$\sqrt{5}$，
∴CD=O₁C-O₁D=3-$\sqrt{5}$，
∴⊙O₁沿OC的方向向上平移3-$\sqrt{5}$个单位时与x轴相切．

点评 本题考查垂径定理、勾股定理、切线的判定、平移的性质，熟知直线与圆相切的条件是解答此题的关键．