Question

已知，如图，BC是圆O的直径，A是弦BD延长线上一点，AC⊥BC于点C，切线DE交AC于点E．
（1）求证：AE=EC．
（2）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接CD，则DE=EC，∠EDC=∠ECD，且∠A+∠ECD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，可证得EA=ED，所以可得AE=EC；
（2）当BD=AD时，可知AC=BC=2OC=10．

解答：（1）证明：如图，连接CD，
∵AC⊥BC，
∴AC为⊙O的切线，
∵DE为⊙的切线，
∴DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵BC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠ECD=90°，∠EDA+∠EDC=90°，
∴∠A=∠EDA，
∴DE=AE，
∴AE=EC；
（2）解：∵AD=BD，且CD⊥AB，
∴CD为AB的垂直平分线，
∴AC=BC=2OC=10．

点评：本题主要考查圆的切线的判定和性质及切线长定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握切线长定理及切线的判定和性质是解题的关键，在该题中得到ED=EA是解题的关键．