Question

如图，点B，A分别在x，y轴的正半轴上，AB=m，且AP：PB=2：1，点B在x轴的正半轴上移动，线段AB的长保持不变．
（1）求△POB的面积最大值；
（2）当△POB的面积最大时，△AOB为何种三角形？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）设OA=a，OB=b，由AP：PB=2：1，可得S_△POB=

1

2

S_△AOB，只要确定△AOB的面积最大值，即可得出△POB的面积最大值．
（2）根据（1）的结果，可得出a、b的关系，继而可得出答案．

解答：解：（1）设OA=a，OB=b，则a²+b²=m²，
∵a²+b²-2ab≥0，
∴ab≤

a2+b2

2

，
∴△AOB的面积最大值为

1

2

ab=

a2+b2

4

=

m2

4

，
∴△POB的面积最大值=

1

3

S_△AOB=

m2

12

．

（2）当ab=

a2+b2

2

时，可得（a-b）²=0，
即a=b，
故当△POB的面积最大时，△AOB为等腰直角三角形．

点评：本题考查了二次函数的综合，解答本题的关键是利用a²+b²-2ab≥0，这一重要不等关系，同学们注意将所学知识融会贯通．