Question

如图，已知AB为⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD，垂足为D．
（1）求证：AE平分∠DAC；
（2）若AB=6，∠ABE=60°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连接OE，可证得OE∥AD，则∠DAE=∠AEO=∠EAO，可得结论；
（2）由条件求得∠AOE=120°，容易求得△AOE和扇形AOE的面积，利用面积差可求得阴影部分的面积．

解答：（1）证明：如图，连接OE，
∵DC为切线，
∴OE⊥CD，且AD⊥CD，
∴OE∥AD，
∴∠DAE=∠AEO，
∵OE=OA，
∴∠AEO=∠EAO，
∴∠DAE=∠EAO，
即AE平分∠DAC；
（2）解：∵∠ABE=60°，
∴∠AOE=120°，
且AB=6，则OA=OB=BE=3，在Rt△ABE中可求得AE=3

3

，
∴S_扇形AOE=

1

3

π•OA²=3π，S_△AOE=

1

2

S_△ABE=

1

2

×

1

2

AE•BE=

9 3

4

，
∴S_阴影=S_扇形AOE-S_△AOE=3π-

9 3

4

．

点评：本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握切线的性质及扇形的面积公式是解题的关键．注意题目中有切点，则连接圆心和切点是常用的辅助线．