Question

【题目】如图,已知四边形ABCD中,点E是CD上的点(不与CD的中点重合), DE=AB, ∠BAC=∠D，AD=AC

(1)求证:四边形AECB是等腰梯形；

(2)点F 是AB 边延长线上一点，且BC=CF .联结CF、EF,若AC⊥EF求证：四边形AECF是菱形.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由AD＝AC，证得∠D＝∠ACD，由∠BAC＝∠D，推出∠ACD＝∠BAC，由平行线的判定推出AB∥DC，根据全等三角形的判定证得△ADE≌△CAB，即可证得AE＝BC，由等腰梯形的判定即可证得结论；

（2）首先证明△AEC≌△CFA，通过全等三角形的性质得到AF＝CE，推出四边形AECF是平行四边形，然后由菱形的判定定理即可得到结论．

证明：（1）∵AD＝AC，

∴∠D＝∠ACD，

∵∠BAC＝∠D，

∴∠ACD＝BAC，

∴AB∥DC，

在△ADE和△CAB中， ，

∴△ADE≌△CAB(SAS)，

∴AE＝BC，

∴四边形AECB是等腰梯形；

（2）由（1）得AE＝BC，∠AEC＝∠BCE，AB∥EC，

∴∠FBC＝∠BCE，∠FAC＝∠ACE

∵BC＝CF，

∴AE＝CF，∠FBC＝∠BFC，

∴∠BFC＝∠AEC，

在△AEC和△CFA中，，

∴△AEC≌△CFA (AAS)，

∴AF＝CE，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AC⊥EF，

∴平行四边形AECF是菱形．