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【题目】已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A43),顶点为B,对称轴是直线x2

1)求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标;

2)如图1,抛物线与y轴交于点C,连接AC,过AADx轴于点DE是线段AC上的动点(点E不与AC两点重合);

i)若直线BE将四边形ACOD分成面积比为13的两部分,求点E的坐标;

ii)如图2,连接DE,作矩形DEFG,在点E的运动过程中,是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上?若存在,求出此时AE的长;若不存在,请说明理由.

【答案】1y=﹣x2+x+3,顶点B的坐标为(24);(2)(i)点E的坐标为(3)或(3);(ii)存在;当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上,此时AE的长为

【解析】

1)由题意得出,解得,得出抛物线的函数表达式为:y=﹣x2+x+3=﹣x22+4,即可得出顶点B的坐标为(24);

2)(i)求出C03),设点E的坐标为(m3),求出直线BE的函数表达式为:yx+,则点M的坐标为(4m60),由题意得出OC3AC4OM4m6CEm,则S矩形ACOD12S梯形ECOM,分两种情况求出m的值即可;

ii)过点FFNACN,则NFCG,设点F的坐标为:(a,﹣a2+a+3),则NF3﹣(﹣a2+a+3)=a2aNC=﹣a,证△EFN≌△DGOASA),得出NEODAC4,则AENC=﹣a,证△ENF∽△DAE,得出,求出a=﹣0,当a0时,点E与点A重合,舍去,得出AENC=﹣a,即可得出结论.

1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A43),对称轴是直线x2

解得

∴抛物线的函数表达式为:y=﹣x2+x+3

y=﹣x2+x+3=﹣x22+4

∴顶点B的坐标为(24);

2)(i)∵y=﹣x2+x+3

x0时,y3

C点的坐标为(03),

A43),

ACOD

ADx

∴四边形ACOD是矩形,

设点E的坐标为(m3),直线BE的函数表达式为:ykx+n,直线BEx轴于点M,如图1所示:

解得:

∴直线BE的函数表达式为:yx+

令:yx+0,则x4m6

∴点M的坐标为(4m60),

∵直线BE将四边形ACOD分成面积比为13的两部分,

∴点M在线段OD上,点M不与点O重合,

C03),A43),M4m60),Em3),

OC3AC4OM4m6CEm

S矩形ACODOCAC3×412

S梯形ECOMOM+ECOC4m6+m)×3

分两种情况:

,即

解得:m

∴点E的坐标为:(3);

,即

解得:m

∴点E的坐标为:(3);

综上所述,点E的坐标为:(3)或(3);

ii)存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上;理由如下:

由题意得:满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方,

过点FFNACN,则NFCG,如图2所示:

设点F的坐标为:(a,﹣a2+a+3),

NF3﹣(﹣a2+a+3)=a2aNC=﹣a

∵四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形,

∴∠DAE=∠DEF=∠N90°,EFDGEFDGACOD

∴∠NEF=∠ODG,∠EMC=∠DGO

NFCG

∴∠EMC=∠EFN

∴∠EFN=∠DGO

在△EFN和△DGO中,NEF=ODGEF=DG,EFN=DGO

∴△EFN≌△DGOASA),

NEODAC4

ACCENECE,即AENC=﹣a

∵∠DAE=∠DEF=∠N90°,

∴∠NEF+EFN90°,∠NEF+DEA90°,

∴∠EFN=∠DEA

∴△ENF∽△DAE,/span>

,即

整理得:a2+a0

解得:a=﹣0

a0时,点E与点A重合,

a0舍去,

AENC=﹣a

∴当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上,此时AE的长为

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