【题目】已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(4,3),顶点为B,对称轴是直线x=2.
(1)求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标;
(2)如图1,抛物线与y轴交于点C,连接AC,过A作AD⊥x轴于点D,E是线段AC上的动点(点E不与A,C两点重合);
(i)若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1:3的两部分,求点E的坐标;
(ii)如图2,连接DE,作矩形DEFG,在点E的运动过程中,是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上?若存在,求出此时AE的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+x+3,顶点B的坐标为(2,4);(2)(i)点E的坐标为(,3)或(,3);(ii)存在;当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上,此时AE的长为.
【解析】
(1)由题意得出,解得,得出抛物线的函数表达式为:y=﹣x2+x+3=﹣(x﹣2)2+4,即可得出顶点B的坐标为(2,4);
(2)(i)求出C(0,3),设点E的坐标为(m,3),求出直线BE的函数表达式为:y=x+,则点M的坐标为(4m﹣6,0),由题意得出OC=3,AC=4,OM=4m﹣6,CE=m,则S矩形ACOD=12,S梯形ECOM=,分两种情况求出m的值即可;
(ii)过点F作FN⊥AC于N,则NF∥CG,设点F的坐标为:(a,﹣a2+a+3),则NF=3﹣(﹣a2+a+3)=a2﹣a,NC=﹣a,证△EFN≌△DGO(ASA),得出NE=OD=AC=4,则AE=NC=﹣a,证△ENF∽△DAE,得出,求出a=﹣或0,当a=0时,点E与点A重合,舍去,得出AE=NC=﹣a=,即可得出结论.
(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(4,3),对称轴是直线x=2,
∴
解得
∴抛物线的函数表达式为:y=﹣x2+x+3,
∵y=﹣x2+x+3=﹣(x﹣2)2+4,
∴顶点B的坐标为(2,4);
(2)(i)∵y=﹣x2+x+3,
∴x=0时,y=3,
则C点的坐标为(0,3),
∵A(4,3),
∴AC∥OD,
∵AD⊥x,
∴四边形ACOD是矩形,
设点E的坐标为(m,3),直线BE的函数表达式为:y=kx+n,直线BE交x轴于点M,如图1所示:
则
解得: ,
∴直线BE的函数表达式为:y=x+,
令:y=x+=0,则x=4m﹣6,
∴点M的坐标为(4m﹣6,0),
∵直线BE将四边形ACOD分成面积比为1:3的两部分,
∴点M在线段OD上,点M不与点O重合,
∵C(0,3),A(4,3),M(4m﹣6,0),E(m,3),
∴OC=3,AC=4,OM=4m﹣6,CE=m,
∴S矩形ACOD=OCAC=3×4=12,
S梯形ECOM=(OM+EC)OC=(4m﹣6+m)×3=,
分两种情况:
①=,即=,
解得:m=,
∴点E的坐标为:(,3);
②=,即=,
解得:m=,
∴点E的坐标为:(,3);
综上所述,点E的坐标为:(,3)或(,3);
(ii)存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上;理由如下:
由题意得:满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方,
过点F作FN⊥AC于N,则NF∥CG,如图2所示:
设点F的坐标为:(a,﹣a2+a+3),
则NF=3﹣(﹣a2+a+3)=a2﹣a,NC=﹣a,
∵四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形,
∴∠DAE=∠DEF=∠N=90°,EF=DG,EF∥DG,AC∥OD,
∴∠NEF=∠ODG,∠EMC=∠DGO,
∵NF∥CG,
∴∠EMC=∠EFN,
∴∠EFN=∠DGO,
在△EFN和△DGO中,∠NEF=∠ODG,EF=DG,∠EFN=∠DGO,
∴△EFN≌△DGO(ASA),
∴NE=OD=AC=4,
∴AC﹣CE=NE﹣CE,即AE=NC=﹣a,
∵∠DAE=∠DEF=∠N=90°,
∴∠NEF+∠EFN=90°,∠NEF+∠DEA=90°,
∴∠EFN=∠DEA,
∴△ENF∽△DAE,/span>
∴,即=
整理得:a2+a=0,
解得:a=﹣或0,
当a=0时,点E与点A重合,
∴a=0舍去,
∴AE=NC=﹣a=,
∴当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上,此时AE的长为.
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【题目】如图1,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=3,AD=5,点P在边AD上运动,以P为圆心,PA为半径的⊙P与对角线AC交于A,E两点.
(1)如图2,当⊙P与边CD相切于点F时,求AP的长;
(2)不难发现,当⊙P与边CD相切时,⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点,随着AP的变化,⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化,若公共点的个数为4,直接写出相对应的AP的值的取值范围.
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【题目】只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数.我国数学家陈景润哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都表示为两个素数的和”,如10=3+7.
(1)从7,11,13,17这4个素数中随机抽取一个,则抽到的数是11的概率是_____;
(2)从7,11,13,17这4个素数中随机抽取1个数,再从余下的3个数中随机抽取1个数,用画树状图或列表的方法,求抽到的两个素数之和等于24的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-1.5,0),B(0,2),将△ABO顺着x轴的正半轴无滑动的滚动,第一次滚动到①的位置,点B的对应点记作B1;第二次滚动到②的位置,点B1的对应点记作B2;第三次滚动到③的位置,点B2的对应点记作B3;;依次进行下去,则点B2020的坐标为__________.
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【题目】如图,在ABCD中,∠C=30°,过D作DE⊥BC于点E,延长CB至点F,使BF=CE,连接AF.若AF=4,CF=10,则ABCD的面积为_____.
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【题目】如图1是一座立交桥的示意图(道路宽度忽略不计),A为入口,F,G为出口,其中直行道为AB,CG,EF,且AB=CG=EF;弯道为以点O为圆心的一段弧,且所对的圆心角均为90°.甲、乙两车由A口同时驶入立交桥,均以8m/s的速度行驶,从不同出口驶出,其间两车到点O的距离y(m)与时间x(s)的对应关系如图2所示,结合题目信息,下列说法错误的是( )
A.立交桥总长为168 m
B.从F口出比从G口出多行驶48m
C.甲车在立交桥上共行驶11 s
D.甲车从F口出,乙车从G口出
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【题目】已知二次函数的图象与轴交于两点,与轴交于点,点在直线上,横坐标为.
(1)确定二次函数的解析式;
(2)如图1,时,交二次函数的图象于点的面积记作为何值时的值最大,并求出的最大值;
(3)如图2,过点作轴的平行线交二次函数的图象于点点与点关于直线对称是否存在点使四边形为菱形,若存在直接写出的值;若不存在请说明理由.
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