Question

【题目】如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．

（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；

（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）AP＝；（2）＜AP＜或AP＝2.5

【解析】

（1）如下图，连接PF，先在Rt△ABC中，求得AC的长，然后根据平行四边形的性质，推导出△DPF∽△DAC，根据相似三角形边长关系得出AP的长 ；

（2）存在2种情况，一种是点P在移动过程中，先与CD相切，然后点P继续向右移动，与BC相切，AP的长在这两个临界点之间；另一种情况是圆刚好过A、C、D三点时，也符合题意．

解：（1）如下图所示，连接PF，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝4，

设AP＝x，则DP＝10﹣x，PF＝x，

∵⊙P与边CD相切于点F，

∴PF⊥CD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∵AB⊥AC，

∴AC⊥CD，

∴AC∥PF，

∴△DPF∽△DAC，

∴，

∴，

∴x＝，AP＝；

（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，图形如下，

SABCD＝＝5PG，

PG＝，

①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，

②⊙P过点A、C、D三点．，图形如下，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，

此时AP＝2.5，

综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP＝2.5．