Question

【题目】如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且点与点的坐标分别为．，点是抛物线的顶点．点为线段上一个动点，过点作轴于点，若．

（1）求二次函数解析式；

（2）设的面积为，试判断有最大值或最小值？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；

（3）在上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请写出点的坐标若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．

【解析】

（1）将点B，C的坐标代入y=-x2+bx+c即可；

（2）把（1）中的一般式配成顶点式可得到M（1，4），设直线BM的解析式为y=kx+n，再利用待定系数法求出直线BM的解析式，则P（m，-2m+6）（1≤m＜3），于是根据三角形面积公式得到S=-m2+3m，然后根据二次函数的性质即可解决问题；

（3）讨论：∠PDC不可能为90°；当∠DPC=90°时，易得-2m+6=3，解方程求出m即可得到此时P点坐标；当∠PCD=90°时，利用勾股定理得到和两点间的距离公式得到m2+（-2m+3）2+32+m2=（-2m+6）2，然后解方程求出满足条件的m的值即可得到此时P点坐标．

解：（1）把，代入，

得

解得

∴抛物线解析式为：；

（2）∵，

∴顶点，

∵，

∴设的解析式为：

则有

解得，

∴的解析式为：，

∵，轴

∴，则，，

∴，

∵

∴有最大值，

当时，；

（3）存在，

①时，如图①

∵轴

∴时，轴

∴，即，

解得：，

∴此时；

②时，如图②，

∵轴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

即，

∵，，，

∴，，，

∴，

∴，

，

解得：（舍），，

∴；

③∵轴，在轴的正半轴上，

∴不可能等于；

综上所述，或．