Question

19．直线l经过A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数y=x²+1的图象，第一、二象限内相交于点C、D，求：
（1）直线AB的解析式；
（2）抛物线与直线AB的交点C、D坐标；
（3）△AOC的面积；
（4）在直线CD的下方的抛物线图象上找一点P使点P、C、D围成的三角形的面积有最大值，并求最大值．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的解析式y=kx+b，代入A（3，0），B（0，3）两点求得函数解析式即可；
（2）两个函数联立方程组求得C、D坐标；
（3）利用三角形的面积计算方法计算即可；
（4）设过P点的直线与直线CD平行，且与抛物线只有一个交点时，△PCD的面积最大，由此与抛物线联立方程，利用根的判别式求得解析式，进一步利用三角形的面积与两点之间的距离计算方法得出答案即可．

解答 解：（1）设直线AB的解析式y=kx+b，代入A（3，0），B（0，3）得
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
因此直线AB的解析式y=-x+3；
（2）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+1}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=5}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
因此C点坐标为（1，2），D点坐标为（-2，5）；
（3）如图，

△AOC的面积=$\frac{1}{2}$×3×2=3；
（4）如图，
过P点的直线与直线CD平行，且与抛物线只有一个交点时，△PCD的面积最大，
∵直线BC为y=-x+3，
∴设过D点的直线为y=-x+b，
则x²+1=-x+b，x²+x+1-b=0，
△=1-4（1-b）=0，
解得：b=$\frac{3}{4}$，y=-x+$\frac{3}{4}$，
∴x²+x+1-$\frac{3}{4}$=0，
解得：x=-$\frac{1}{2}$，
则y=$\frac{5}{4}$，
点P坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）；
∵CD=$\sqrt{（1+2）^{2}+（2-5）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，CD上的高为（3-$\frac{3}{4}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{9}{8}$$\sqrt{2}$，
∴△PCD的面积最大为$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$\frac{9}{8}$$\sqrt{2}$=$\frac{27}{8}$．

点评 本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．