Question

【题目】如图,二次函数y=x2+2x+6的图像与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点C,顶点为点D,该二次函数图像的对称轴与直线BC相交于点E,与x轴交于点F;

(1)求直线BC的解析式;

(2)试判断△BFE与△DCE是否相似?并说明理由.

(3)在坐标轴上是否存在这样的点P,使得以点P、B、C为顶点的三角形与△DCE相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。

Answer 1

【答案】(1) y=-x+6．(2) △BFE与△DCE相似．理由见解析；（3）在坐标轴上存在这样的点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形与△DCE相似，P点的坐标为（0，0）、（-6，0）和（0，-6）．

【解析】

试题分析：（1）令x=0，可求得C点坐标，令y=0，可求得A、B点坐标，设出直线BC解析式，由待定系数法即可得出结论；

（2）观察两三角形可知，存在一个对顶角，只需再有一个角相等即可，由于DF⊥x轴，在△DCE中只要找到一个直角即可，结合边的长度由勾股定理可得出结论；

（3）结合（2）的结论，只要找到以点P、B、C为顶点的三角形与△BFE相似即可，分BC为斜边，直角边讨论即可．

试题解析：（1）令x=0，则有y=6，

∴C点坐标为（0，6）；

令y=0，则有-x2+2x+6=0，

解得：x1=-2，x2=6，

∴A点坐标为（-2，0），B点坐标为（6，0）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，

则有，解得：．

∴直线BC的解析式为y=-x+6．

（2）假设△BFE与△DCE相似．

∵二次函数y=-x2+2x+6=-（x-2）2+8，

∴D点坐标为（2，8），直线DE解析式为x=2．

∵直线BC、DE相交于点E，

∴，解得，

即点E坐标为（2，4）．

∵点C（0，6），点D（2，8），

∴DE=4，CE=，CD=，

∴DE2=CE2+CD2，

∴∠DCE=90°．

又∵∠BFE=90°，且∠DEC=∠BEF，

∴△DCE∽△BEF．

（3）假设存在．

由（2）可知△DCE∽△BEF，

故只需找到以点P、B、C为顶点的三角形与△BEF相似即可．

①以BC为斜边，如图1．

此时P点与O点重合，故P点坐标为（0，0）；

②以BC为直角边，点P在x轴上，如图2．

∵点C（0，6），点B（6，0），

∴BO=6，CO=6，

∴∠OBC=∠OCB=45°，BC=，

∴BP=，

∴P点坐标为（-6，0）；

③以BC为直角边，点P在y轴上，如图3．

CP=，

∴P点坐标为（0，-6）．

综上可知：在坐标轴上存在这样的点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形与△DCE相似，P点的坐标为（0，0）、（-6，0）和（0，-6）．