Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知点A，点B，点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝30°时，点C的坐标为______．

Answer 1

【答案】(0，)，(0，)

【解析】

（1）如图1，以AB为边在x轴的上方作等边△PAB，再以点P为圆心，PA为半径作圆P，交y轴的正半轴于点C，连接BC、AC，则此时∠BCA=30°，再根据题中的已知条件求得线段OC的长，即可得到此时点C的坐标；

（2）如图2，和（1）同理在y轴的负半轴可求得另一个符合要求的点C的坐标.

（1）如图1，以AB为边在x轴的上方作等边△PAB，则∠APB=60°，再以点P为圆心，PA为半径作圆P，交y轴的正半轴于点C，连接BC、AC，则此时由∠APB=60°可得∠BCA=30°，

∵点A、B的坐标分别为：，，

∴AB=，OB=

∴PA=PC=AB=，

过点P作PF⊥y轴于点F，PE⊥x轴于点E，则四边形PEOF是矩形，

∴OF=PE，PF=OE，

∵在等边△PAB中，PE=PA·sin60°=，BE=AB=，

∴OF=12，OE=OB-BE=，

∴PF=，

又∵在Rt△PFC中，PC=，∠PFC=90°，

∴CF=，

∴OC=OF+CF=，

∴此时点C的坐标为；

（2）如图2，以AB为边在x轴的下方作等边△PAB，则∠APB=60°，再以点P为圆心，PA为半径作圆P，交y轴的负半轴于点C，连接BC、AC，则此时由∠APB=60°可得∠BCA=30°，和（1）同理可得此时点C的坐标为：；

综上所述，符合条件的点C的坐标为或，

故答案为：或.