【题目】如图,点P为直径BA延长线上一点,D为圆上一点,BH⊥PD于H,BD恰好平分∠PBH,BH交⊙O于C,连接CD,OD.
(1)求证:PD为⊙O的切线;
(2)若CD=2,∠ABD=30°,求⊙O的直径.
【答案】(1)见解析;(2)⊙O的直径的长为4.
【解析】
(1)利用∠1=∠3,∠1=∠2,得到∠2=∠3,则可证明BH∥OD,利用平行线的性质得到OD⊥PH,从而证得PD为⊙O的切线;
(2)连接OC,如图,先证明△OCB为等边三角形得到∠BOC=60°,再利用平行线的性质得到∠BOD=120°,所以∠DOC=60°,然后判定△OCD为等边三角形,则OD=CD=2,从而得到⊙O的直径的长.
(1)证明:∵OB=OD,
∴∠1=∠3,
∵∠1=∠2,
∴∠2=∠3,
∴BH∥OD,
∵BH⊥PH,
∴OD⊥PH,
∵D为圆上一点,
∴PD为⊙O的切线;
(2)解:连接OC,如图,
∵∠1=30°,
∴∠2=∠3=30°,
∴∠OBC=60°,
∴△OCB为等边三角形,
∴∠BOC=60°,
∵BC∥OD,
∴∠BOD=180°-∠OBC=120°,
∴∠DOC=60°,
而OC=OD,
∴△OCD为等边三角形,
∴OD=CD=2,
∴⊙O的直径的长为4.
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【题目】抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,P为线段BC上一点,过点P作y轴平行线,交抛物线于点D,当△BDC的面积最大时,求点P的坐标;
(3)如图2,抛物线顶点为E,EF⊥x轴于F点,M(m,0)是x轴上一动点,N是线段EF上一点,若∠MNC=90°,请指出实数m的变化范围,并说明理由.
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【题目】阅读下列材料,完成任务:
自相似图形
定义:若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形,则称这个图形是自相似图形.例如:正方形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点,连接EG,HF交于点O,易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形,且与原正方形相似,故正方形是自相似图形.
任务:
(1)图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中,每个正方形与原正方形的相似比为 ;
(2)如图2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,小明发现△ABC也是“自相似图形”,他的思路是:过点C作CD⊥AB于点D,则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,则△ACD与△ABC的相似比为 ;
(3)现有一个矩形ABCD是自相似图形,其中长AD=a,宽AB=b(a>b).
请从下列A、B两题中任选一条作答:我选择 题.
A:①如图3﹣1,若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形,且与原矩形都相似,则a= (用含b的式子表示);
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形,且与原矩形都相似,则a= (用含n,b的式子表示);
B:①如图4﹣1,若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形,再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形,且分割得到的矩形与原矩形都相似,则a= (用含b的式子表示);
②如图4﹣2,若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形,再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形,且分割得到的矩形与原矩形都相似,则a= (用含m,n,b的式子表示).
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【题目】课外阅读是提高学生素养的重要途径,亚光初中为了了解学校学生的阅读情况,组织调查组对全校三个年级共1500名学生进行了抽样调查,抽取的样本容量为300。已知该校有初一学生600名,初二学生500名,初三学生400名。
(1)为使调查的结果更加准确地反映全校的总体情况,应分别在初一年级随机抽取 人;在初二年级随机抽取 人;在初三年级随机抽取 人(请直接填空)。
(2)调查组对本校学生课外阅读量的统计结果分别用扇形统计图和频数分布直方图表示如下,请根据上统计图,计算样本中各类阅读量的人数,并补全频数分布直方图。
(3)根据(2)的调查结果,从该校中随机抽取一名学生,他最大可能的阅读量是多少本?为什么?
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【题目】如图,BD是菱形ABCD的对角线.
(1)请用直尺和圆规作AB的垂直平分线EF,垂足为点E,交AD于点F;(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,连接BF,若∠CBD=75°,求∠DBF的度数.
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【题目】教室里的饮水机接通电源就进入自动程序,开机加热时每分钟上升10℃,加热100℃,停止加热,水温开始下降,此时水温(℃)与开机后用时(min)成反比例关系.直至水温降至30℃,饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机,重复上述自动程序.若在水温为30℃时,接通电源后,水温y(℃)和时间(min)的关系如图,为了在上午第一节下课时(8:25)能喝到不小于70℃的水,则接通电源的时间可以是当天上午的( ).
A.7:00 B.7:10 C.7:25 D.7:35
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【题目】已知直线MN是线段BC的垂直平分线,垂足为O,P为射线OM上的一点,连接BP,PC.将线段PB绕点P逆时针旋转,得到线段PQ(PQ与PC不重合),旋转角为α(0°<α<180°)直线CQ交MN与点D.
(1)如图1,当α=30°,且点P与点O重合时,∠CDM的度数是 ;
(2)如图2,且点P与点O不重合.
①当α=120°时,求∠CDM的度数;
②用含α的代数式表示∠CDM的度数.
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【题目】鲜丰水果店计划用元/盒的进价购进一款水果礼盒以备销售.
据调查,当该种水果礼盒的售价为元/盒时,月销量为盒,每盒售价每增长元,月销量就相应减少盒,若使水果礼盒的月销量不低于盒,每盒售价应不高于多少元?
在实际销售时,由于天气和运输的原因,每盒水果礼盒的进价提高了,而每盒水果礼盒的售价比(1)中最高售价减少了,月销量比(1)中最低月销量盒增加了,结果该月水果店销售该水果礼盒的利润达到了元,求的值.
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【题目】兄弟两人骑马进城,全程51,马每小时行12,但只能由一个人骑.哥哥每小时步行5,弟弟每小时步行4.两人轮换骑马和步行,骑马者走过一段距离就下鞍拴马(下鞍拴马的时间忽略不计),然后独自步行,而步行者到达此地,再上马前进.若他们早上8:00出发,并且同时到达城门,那么他们到达的时间是_____.
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