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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,AB=8.

(1)利用尺规,作∠CAB的平分线,交⊙O于点D;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,连接CD,OD,若AC=CD,求∠B的度数;
(3)在(2)的条件下,OD交BC于点E,求由线段ED,BE, 所围成区域的面积.(其中 表示劣弧,结果保留π和根号)

【答案】
(1)解:如图1所示,AP即为所求的∠CAB的平分线


(2)解:如图2所示:

∵AC=CD,

∴∠CAD=∠ADC,

又∵∠ADC=∠B,

∴∠CAD=∠B,

∵AD平分∠CAB,

∴∠CAD=∠DAB=∠B,

∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACB=90°,

∴∠CAB+∠B=90°,

∴3∠B=90°,

∴∠B=30°


(3)解:由(2)得:∠CAD=∠BAD,∠DAB=30°,

又∵∠DOB=2∠DAB,

∴∠BOD=60°,

∴∠OEB=90°,

在Rt△OEB中,OB= AB=4,

∴OE= OB=2,

∴BE= = =2

∴△OEB的面积= OEBE= ×2×2 =2 ,扇形BOD的面积= =

∴线段ED,BE, 所围成区域的面积= ﹣2


【解析】(1)由角平分线的基本作图即可得出结果;(2)由等腰三角形的性质和圆周角定理得出∠CAD=∠B,再由角平分线得出∠CAD=∠DAB=∠B,由圆周角定理得出∠ACB=90°,得出∠CAB+∠B=90°,即可求出∠B的度数;(3)证出∠OEB=90°,在Rt△OEB中,求出OE= OB=2,由勾股定理求出BE,再由三角形的面积公式和扇形面积公式求出△OEB的面积= OEBE=2 ,扇形BOD的面积═ ,所求图形的面积=扇形面积﹣△OEB的面积,即可得出结果.本题是圆的综合题目,考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、扇形面积公式等知识;本题综合性强,有一定难度,熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键.

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