【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,AB=8.
(1)利用尺规,作∠CAB的平分线,交⊙O于点D;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,连接CD,OD,若AC=CD,求∠B的度数;
(3)在(2)的条件下,OD交BC于点E,求由线段ED,BE, 所围成区域的面积.(其中 表示劣弧,结果保留π和根号)
【答案】
(1)解:如图1所示,AP即为所求的∠CAB的平分线
(2)解:如图2所示:
∵AC=CD,
∴∠CAD=∠ADC,
又∵∠ADC=∠B,
∴∠CAD=∠B,
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠DAB=∠B,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠B=90°,
∴3∠B=90°,
∴∠B=30°
(3)解:由(2)得:∠CAD=∠BAD,∠DAB=30°,
又∵∠DOB=2∠DAB,
∴∠BOD=60°,
∴∠OEB=90°,
在Rt△OEB中,OB= AB=4,
∴OE= OB=2,
∴BE= = =2 ,
∴△OEB的面积= OEBE= ×2×2 =2 ,扇形BOD的面积= = ,
∴线段ED,BE, 所围成区域的面积= ﹣2
【解析】(1)由角平分线的基本作图即可得出结果;(2)由等腰三角形的性质和圆周角定理得出∠CAD=∠B,再由角平分线得出∠CAD=∠DAB=∠B,由圆周角定理得出∠ACB=90°,得出∠CAB+∠B=90°,即可求出∠B的度数;(3)证出∠OEB=90°,在Rt△OEB中,求出OE= OB=2,由勾股定理求出BE,再由三角形的面积公式和扇形面积公式求出△OEB的面积= OEBE=2 ,扇形BOD的面积═ ,所求图形的面积=扇形面积﹣△OEB的面积,即可得出结果.本题是圆的综合题目,考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、扇形面积公式等知识;本题综合性强,有一定难度,熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键.
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【题目】如图,已知 BF=CE,∠B=∠E,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )
A. AB=DE B. AC∥DF C. ∠A=∠D D. AC=DF
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【题目】如图①,我们在“格点”直角坐标系上可以看到,要求AB或CD的长度,可以转化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长.
例如:从坐标系中发现:D(﹣7,3),E(4,﹣3),所以DF=|5﹣(﹣3)|=8,EF=|4﹣(﹣7)|=11,所以由勾股定理可得:DE=.
(1)在图①中请用上面的方法求线段AB的长:AB= ;
(2)在图②中:设A(x1,y1),B(x2,y2),试用x1,x2,y1,y2表示:AC= ,BC= ,AB= ;
(3)试用(2)中得出的结论解决如下题目:已知:A(2,1),B(4,3);
①直线AB与x轴交于点D,求线段BD的长;
②C为坐标轴上的点,且使得△ABC是以AB为边的等腰三角形,请求出C点的坐标.
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【题目】“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志,小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景,然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点,“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1790m.如图,DE∥BC,BD=1700m,∠DBC=80°,求斜坡AE的长度.(结果精确到0.1m)
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【题目】把一副三角板按如图放置,其中∠ABC=∠DEB=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AC=BD=10,若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B,则点A在△D′E′B的( )
A.内部
B.外部
C.边上
D.以上都有可能
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,A(﹣1,5),B(﹣1,0),C(﹣4,3).
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′(其中A′,B′,C′分别是A,B,C的对应点,不写画法);
(2)直接写出A′,B′,C′三点的坐标:A′( ),B′( ),C′( )
(3)计算△ABC的面积.
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【题目】如图,在坐标轴上取点A1(2,0),作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1 , 作等腰直角三角形A1B1A2;又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交于点B2 , 作等腰直角三角形A2B2A3;…,如此反复作等腰直角三角形,当作到An(n为正整数)点时,则An的坐标是 .
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【题目】(某进口专营店销售一种“特产”,其成本价是20元/千克,根据以往的销售情况描出销量y(千克/天)与售价x(元/千克)的关系,如图所示.
(1)试求出y与x之间的一个函数关系式;
(2)利用(1)的结论:
求每千克售价为多少元时,每天可以获得最大的销售利润.
②进口产品检验、运输等过程需耗时5天,该“特产”最长的保存期为一个月(30天),若售价不低于30元/千克,则一次进货最多只能多少千克?
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