【题目】如图,四边形OABC为矩形,以点O为原点建立直角坐标系,点C在轴的正半轴上,点A在轴的正半轴上,已知点B的坐标为(2,4),反比例函数的图像经过AB的中点D,且与BC交于点E.
(1)求的值和点E的坐标;
(2)求直线DE的解析式;
(3)点Q为轴上一点,点P为反比例函数图像上一点,是否存在点P、Q,使得以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形, 如果存在,请求出点P的坐标; 如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)m=4,E(2,2);(2);(3)P(,)或(,)
【解析】
(1)根据矩形的性质以及点B为(2,4),求得D的坐标,代入反比例函数中,即可求得m的值,令x=2,即可求得E的坐标;
(2)依据D、E的坐标应用待定系数法即可求得;
(3)分情况讨论:当DE是平行四边形的边时;当DE是平行四边形的对角线时,分别利用平行四边形的性质和中点坐标公式求解即可.
解:(1)∵四边形OABC为矩形,点B为(2,4),
∴AB=2,BC=4,
∵D是AB的中点,
∴D(1,4),
∵反比例函数图象经过AB的中点D,
∴4=,即m=4,
∴反比例函数解析式为y=,令x=2,得y=2,
∴E的坐标(2,2);
(2)∵D(1,4),E(2,2),
设直线DE的解析式为y=kx+b,
∴,解得,
∴直线DE的解析式为y=2x+6;
(3)存在;
∵D(1,4),E(2,2),以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形,当DE是平行四边形的边时,则PQ∥DE,且PQ=DE,
∴Q的纵坐标为0,
∴P的纵坐标为±2,
令y=2,则2=,解得x=2,令y=2,则2=,解得x=2,
∵E(2,2),
∴P点的坐标为(2,2);
当DE是平行四边形的对角线时,
∵D(1,4),E(2,2),
∴DE的中点为(,3),
设P(a,)、Q(x,0),
∴,
∴a=,
∴P(,6),
综上所述:P点的坐标为(2,2)或(,6).
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【题目】某学校要开展校园文化艺术节活动,为了合理编排节目,对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查(每名学生必须选择且只能选择一类),并将调查结果绘制成如下不完整统计图.
请你根据图中信息,回答下列问题:
(1)本次共调查了 名学生.
(2)在扇形统计图中,“歌曲”所在扇形的圆心角等于 度.
(3)补全条形统计图(标注频数).
(4)根据以上统计分析,估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为 人.
(5)九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈,学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排,那么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少?
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12cm,BC=24cm.动点P从点A开始沿边AC向点C以2cm/s的速度移动;动点Q从点C开始沿边CB向点B以4cm/s的速度移动.如果P,Q两点同时出发.
(1)经过几秒,△PCQ的面积为32cm2?
(2)若设△PCQ的面积为S,运动时间为t,请写出当t为何值时,S最大,并求出最大值;
(3)当t为何值时,以P,C,Q为顶点的三角形与△ABC相似?
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【题目】△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为BC边上一动点,过线段AP上的点M作DE⊥AP,交边AB于点D,交边AC于点E,点N为DE中点,若四边形ADPE的面积为18,则AN的最大值=______.
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【题目】如图,一次函数y=x+b和反比例函数y=(k≠0)交于点A(4,1).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求△AOB的面积;
(3)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.
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【题目】如图,Rt△ABC的边AB在直线L上,AC=1, AB=2,∠ACB=90°,将Rt△ABC绕点B在平面内按顺时针方向旋转,使BC边落在直线L上,得到△A1BC1; 再将△A1BC1绕点C1在平面内按顺时针方向旋转,使边A1C1落在直线L上,得到△A2B1C1,则点A所经过的两条弧的长度之和为_____________.
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【题目】阅读理解:
如图1,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A、点B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.解决问题:
(1)如图1,∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点,并说明理由;
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E;
拓展探究:
(3)如图3,将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,试探究AB和BC的数量关系.
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【题目】如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM,
(1)求证:△AMB≌△ENB;
(2)当M点在何处时,AM +CM的值最小,并说明理由;
(3)当M点在何处时,AM +BM +CM的值最小,并说明理由;
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