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【题目】如图,四边形ABCD是正方形,ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接ENAMCM

1)求证:AMB≌△ENB

2)当M点在何处时,AM +CM的值最小,并说明理由;

3)当M点在何处时,AM +BM +CM的值最小,并说明理由;

【答案】(1)证明见解析;(2)当M点落在BD的中点时,AMC三点共线时,AM+CM的值最小;(3)当M点位于BDCE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长.

【解析】

1)由题意得MB=NB,∠ABN=15°,所以∠EBN=45°,容易证出△AMB≌△ENB
2)根据两点之间线段最短,可得,当M点落在BD的中点时,AM+CM的值最小;
3)根据两点之间线段最短,当M点位于BDCE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长(如图);

解:(1)∵四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,

ABBCBE,∠ABE60°

∵将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN

BNBM,∠MBN60°

∴∠ABE=∠MBN

∴∠EBN=∠ABM,且ABBEMBNB

∴△AMB≌△ENBSAS);

(2)M点落在BD的中点时,AMC三点共线时,AM+CM的值最小;

(3)如图1,连接CE,当M点位于BDCE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,

理由如下:连接MN

由(1)知,△AMB≌△ENB

AMEN

∵∠MBN60°MBNB

∴△BMN是等边三角形,

BMMN

AM+BM+CMEN+MN+CM

根据两点之间线段最短,得EN+MN+CMEC最短,

∴当M点位于BDCE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长.

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