【题目】如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM,
(1)求证:△AMB≌△ENB;
(2)当M点在何处时,AM +CM的值最小,并说明理由;
(3)当M点在何处时,AM +BM +CM的值最小,并说明理由;
【答案】(1)证明见解析;(2)当M点落在BD的中点时,A、M、C三点共线时,AM+CM的值最小;(3)当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长.
【解析】
(1)由题意得MB=NB,∠ABN=15°,所以∠EBN=45°,容易证出△AMB≌△ENB;
(2)根据“两点之间线段最短”,可得,当M点落在BD的中点时,AM+CM的值最小;
(3)根据“两点之间线段最短”,当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长(如图);
解:(1)∵四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,
∴AB=BC=BE,∠ABE=60°,
∵将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,
∴BN=BM,∠MBN=60°,
∴∠ABE=∠MBN,
∴∠EBN=∠ABM,且AB=BE,MB=NB,
∴△AMB≌△ENB(SAS);
(2)当M点落在BD的中点时,A、M、C三点共线时,AM+CM的值最小;
(3)如图1,连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,
理由如下:连接MN,
由(1)知,△AMB≌△ENB,
∴AM=EN,
∵∠MBN=60°,MB=NB,
∴△BMN是等边三角形,
∴BM=MN,
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM,
根据“两点之间线段最短”,得EN+MN+CM=EC最短,
∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长.
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【题目】如图,四边形OABC为矩形,以点O为原点建立直角坐标系,点C在轴的正半轴上,点A在轴的正半轴上,已知点B的坐标为(2,4),反比例函数的图像经过AB的中点D,且与BC交于点E.
(1)求的值和点E的坐标;
(2)求直线DE的解析式;
(3)点Q为轴上一点,点P为反比例函数图像上一点,是否存在点P、Q,使得以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形, 如果存在,请求出点P的坐标; 如果不存在,请说明理由.
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【题目】某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元,经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入-成本);
(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为4,延长CB至E使EB=2,以EB为边在上方作正方形EFGB,延长FG交DC于M,连接AM,AF,H为AD的中点,连接FH分别与AB,AM交于点N、K:则下列结论:①△ANH≌△GNF;②∠AFN=∠HFG;③FN=2NK;④:=1:4.其中正确的结论有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,在正方形ABCD中,E是边CD的中点.
(1)用直尺和圆规作⊙O,使⊙O经过点A、B、E(保留作图痕迹,不写作法);
(2)若正方形ABCD的边长为2,求(1)中所作⊙O的半径.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,过点C的直线交AB的延长线于点D,AE⊥DC,垂足为E,F是AE与⊙O的交点,AC平分∠BAE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AE=6,∠D=30°,求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图,直线y=﹣x+5与双曲线(x>0)相交于A,B两点,与x轴相交于C点,△BOC的面积是.若将直线y=﹣x+5向下平移1个单位,则所得直线与双曲线(x>0)的交点有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 0个,或1个,或2个
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