Question

13．如图，直线y=-2x+b与双曲线y=$\frac{3}{x}$（x＞0）交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于E，F两点，连结OA，OB，若S_△OBF+S_△OAE=4S_△AOB，则b的值是5．

Answer 1

分析 由一次函数的解析式求出与坐标轴的交点坐标，得到线段的长度，通过作辅助线构造相似三角形，得到比例式，联立方程组得到一元二次方程，利用根与系数的关系，得出点A，B的坐标之间的关系，根据比例式求得A的坐标，横纵坐标的积等于3，列方程求解．

解答 解：在y=-2x+b中，令y=0，则x=$\frac{b}{2}$，令x=0，则y=b，
∴E（$\frac{b}{2}$，0），F（0，b），
∴OE=$\frac{b}{2}$，OF=b，
过点A作AN⊥OE于N，
∴△AEN∽△EFO，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{EN}{OE}$=$\frac{AN}{OF}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+b}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$得2x²-bx+3=0，
∴x₁•x₂=$\frac{3}{2}$，∴y₁•y₂=6，
∴y₁=2x₂，y₂=2x₁，
∵S_△OBF=$\frac{1}{2}$•OF•x₂=$\frac{1}{2}$•bx₂，S_△AOE=$\frac{1}{2}$OE•y₁=$\frac{1}{2}$$•\frac{b}{2}$•2x₂，
∴S_△BOF=S_△AOE，∴AE=BF，
∵S_△OBF+S_△OAE=4S_△AOB，
∴AE=BF=2AB，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{2}{5}$，
∴NA=$\frac{2b}{5}$，EN=$\frac{b}{5}$，∴ON=$\frac{3b}{10}$，
∴A（$\frac{3b}{10}$，$\frac{2b}{5}$），
∴$\frac{3b}{10}$$•\frac{2b}{5}$=3，
∴b=5，
故答案为：5．

点评 本题考查了利用反比例函数和一次函数的知识和三角形的面积，求解析式中的字母的值，相似三角形的判定和性质，方程的根与系数的关系．