Question

11．抛物线y=ax²+bx+c的顶点为D（-1，2），与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：
①abc＜0；
②2b＜4a+c；
③方程ax²+bx=2-c有两个相等的实数根；
④a-b＞m（am+b）（m≠-1的实数）
其中正确结论的是②③④ （写出序号）

Answer 1

分析 抛物线开口向下a＜0，对称轴在y轴左侧，b＜0，根据抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，抛物线和y轴正半轴相交，c＞0，则abc＞0，由图象可知当x=-2时，y＞0，则4a-2b+c＞0，所以2b＜4a+c；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax²+bx+c=2，所以说方程ax²+bx+c-2=0有两个相等的实数根；当x=-1时，二次函数有最大值，所以a-b+c＞ma+mb+c，从而得出a-b＞m（am+b）．

解答 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴b＜0，
∵对称轴为x=-1，抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，
∴与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴抛物线和y轴正半轴相交，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①错误；
∴当x=-2时，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，
∴2b＜4a+c，故②正确；
∵当x=-1时，二次函数有最大值为2，
即只有x=-1时，ax²+bx+c=2，
∴方程ax²+bx+c-2=0有两个相等的实数根，故③正确；
∵当x=-1时，二次函数有最大值，
∴a-b+c＞ma+mb+c，
∴a-b＞m（a+b），故④正确．
故答案为②③④．

点评 本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．