Question

19．方程x²+2kx+k²-2k+1=0的两个实数根x₁，x₂满足x₁²+x₂²=4，求k的值．

Answer 1

分析 由x₁²+x₂²=x₁²+2x₁•x₂+x₂²-2x₁•x₂=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=4，然后根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．

解答 解：∵方程x²+2kx+k²-2k+1=0的两个实数根，
∴△=4k²-4（k²-2k+1）≥0，
解得 k≥$\frac{1}{2}$．
∵x₁²+x₂²=4，
∴x₁²+x₂²=x₁²+2x₁•x₂+x₂²-2x₁•x₂=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=4，
又∵x₁+x₂=-2k，x₁•x₂=k²-2k+1，
代入上式有4k²-2（k²-2k+1）=4，
解得k=1或k=-3（不合题意，舍去）．
∴k=1．

点评 本题考查了根与系数的关系的知识，解答本题要掌握若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．