Question

【题目】如图一，抛物线过三点

（1）求该抛物线的解析式；

（2）两点均在该抛物线上，若，求点横坐标的取值范围；

（3）如图二，过点作轴的平行线交抛物线于点，该抛物线的对称轴与轴交于点，连结，点为线段的中点，点分别为直线和上的动点，求周长的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点横坐标的取值范围：或；（3）的周长最小值为3.

【解析】

（1）将三个点的坐标代入，求出，即可求出关系式；

（2）可以求出点关于对称轴的对称点的横坐标为：，根据函数的增减性，可以求出当时点横坐标的取值范围；

（3）由于点是的中点，可求出点的坐标，根据对称找出关于直线的对称点，连接两个对称点的直线与的交点，此时三角形的周长最小，周长就等于这两个对称点之间的线段的长，根据坐标，和勾股定理可求．

解：（1）∵抛物线过三点

∴ 解得：；

∴抛物线的解析式为：．

（2）抛物线的对称轴为，抛物线上与相对称的点

在该抛物线上，，根据抛物线的增减性得：

∴或

答：点横坐标的取值范围：或．

（3）∵，，

∴，，

∵是的中点，

∴

当点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，直线与、交点为，此时的周长最小，周长为的长，由对称可得到：，即点，

，

即：的周长最小值为3，