Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴交于点A(5，0)，第一象限的点C(m，4)在抛物线上，y轴上有一点B(0，10).

(I).求抛物线的解析式及它的对称轴；

(Ⅱ)点在线段OB上，点Q在线段BC上，若，且,求n的值；

(Ⅲ)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；对称轴为直线；(Ⅱ)；(Ⅲ)点M的坐标为，，，．

【解析】

（Ⅰ）利用待定系数法求出抛物线解析式即可，根据x=-得出对称轴即可；（Ⅱ）把C（m，4）代入解析式求出m的值，可得C点坐标，过C作轴，垂足为E，连接AB．根据勾股定理求出AC2、BC2、AB2，根据勾股定理逆定理可得∠BCA=90°，利用HL可证明，即可得出OP=CQ，根据OP=2BQ列方程求出n的值即可；（Ⅲ）分别讨论AB=AM、BM=BA、MA=MB三种情况，设点M的坐标为，利用勾股定理列方程求出t的值即可.

（Ⅰ）∵抛物线经过原点O，

∴抛物线解析式为．

∵抛物线与x轴交于点(5，0)，

∴，解得．

∴抛物线解析式为．

，

∴抛物线的对称轴为直线．

（Ⅱ）∵点C在抛物线上，

∴，解得(舍)，．

∴点C坐标为(8，4)．

过C作轴，垂足为E，连接AB．

在中，．

同理，可求得，．

∴．

∴．

在和中，，，

∴．

∴．

∵，

∴，．

∴，

解得．

（Ⅲ）∵抛物线的对称轴为，

∴设点M的坐标为．

①当，为顶角时，

，解得．

②当，为顶角时，

，解得．

③当，为顶角时，

，解得．

此时点为AB的中点，与点A，B不构成三角形．

综上可得，点M的坐标为，，，．