Question

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+mx+n经过点A（0，-1），B（3，2）
（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）设点B关于原点的对称点为B′，点C是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A、B之间的部分为图象G（包含A、B两点），若直线B′C与图象G有公共点，结合函数图象，求点C的纵坐标t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将A与B坐标代入抛物线解析式求出m与n的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可；
（2）由题意确定出B′坐标，以及二次函数的最小值，确定出C纵坐标的最小值，求出直线BB′解析式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+mx+n经过点A（0，-1），B（3，2），
代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-1=n}\\{2=9+3m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-1}\end{array}\right.$．
∴抛物线解析式为y=x²-2x-1，对称轴为直线x=1；

（2）∵B（3，2），
∴B′（-3，-2）．
由函数图象得出C纵坐标最小值为-2．
设直线BB′的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{2=3k+b}\\{-2=-3k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=0}\end{array}\right.$．
∴直线BB′的解析式为y=$\frac{2}{3}$x，
当x=1时，y=$\frac{2}{3}$，
结合函数图象可知t的范围为-2≤t≤$\frac{2}{3}$．

点评 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．