Question

17．已知函数y=（x+1）²-4．
（1）指出函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（2）如图象与x轴的交点为A，B和与y轴的交点为C，求△ABC的面积．
（3）指出该函数的最值和增减性；
（4）若将该抛物线先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，求新的抛物线的解析式；
（5）该抛物线经过怎样的平移能够经过原点．

Answer 1

分析 （1）直接根据抛物线的顶点坐标式直接写出函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（2）分别求出点A、点B和点C的坐标，进而求出△ABC的面积；
（3）根据抛物线的顶点坐标式直接写出函数的最值和增减性；
（4）根据二次函数图形的平移变换知识直接写出新的抛物线的解析式；
（5）把原抛物线顶点坐标平移到原点即可．

解答 解：（1）函数y=（x+1）²-4图象的开口向上，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，-4）；
（2）令y=（x+1）²-4=0，解得x₁=1，x₂=-3，即点A（1，0），B（-3，0），△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×|AB|×|y_C|=$\frac{1}{2}$×4×4=8；
（3）函数y=（x+1）²-4有最小值为-4，当x＜-1时，y随x增大而减小，当x＞-1时，y随x增大而增大；
（4）当抛物线先向右平移2个单位，再向上平移4个单位可得y=（x+1-2）²-4+4，即y=（x-1）²；
（5）函数y=（x+1）²-4先向右平移一个单位，再向上平移4个单位即可经过原点．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴交点、二次函数的性质和最值以及二次函数图象变换的知识，解答本题的关键是抛物线顶点坐标式，此题难度不大．