Question

8．如图，在△ABC中，FD²=FB•FC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：AD平分∠BAC．

Answer 1

分析 连结FA，如图，根据线段垂直平分线性质得FA=FD，则利用等腰三角形的性质得∠1+∠2=∠3，由于FD²=FB•FC，则FA²=FB•FC，加上∠AFC=∠BFA，于是可判断△FAC∽△FBA，根据相似三角形的性质得∠1=∠B，接着利用三角形外角性质得∠3=∠B+∠BAD，所以∠2=∠BAD，于是可判断AD平分∠BAC．

解答 证明：连结FA，如图，
∵EF垂直平分AD，
∴FA=FD，
∴∠1+∠2=∠3，
∵FD²=FB•FC，
∴FA²=FB•FC，
即$\frac{FA}{FB}$=$\frac{FC}{FA}$，
而∠AFC=∠BFA，
∴△FAC∽△FBA，
∴∠1=∠B，
∵∠3=∠B+∠BAD，
∴∠1+∠BAD=∠1+∠2，
∴∠2=∠BAD，
∴AD平分∠BAC．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，只有运用对应角相等，对应边的比相等．也考查了线段垂直平分线的性质．