Question

13．已知△ABC的三边分别为7，24，25．
（1）求这个三角形外心与重心之间的距离；
（2）以这个三角形的最大角的顶点为圆心作一圆与最长边相切，求这个圆的直径之长．

Answer 1

分析 （1）由三角形的三边可得，△ABC是直角三角形，设O是斜边AB中点，可得O是△ABC的外心，由重心的性质可知：AE：EO=2：1，即可求出OE的值，
（2）先作CF⊥AB于点F，可得CF就是所求圆的半径，利用射影定理可得CF•AB=AC•CB，可得出CF的值，即可得出这个圆的直径之长．

解答 解：如图1，

∵7²+24²=25²，
∴△ABC是直角三角形，
设O是斜边AB中点，
∴O是△ABC的外心，
由重心的性质可知，AE：EO=2：1，
∴OE=$\frac{1}{3}$CO=$\frac{1}{3}$×$\frac{25}{2}$=$\frac{25}{6}$，
（2）如图2，作CF⊥AB于点F，

∴CF就是所求圆的半径，
∵CF•AB=AC•CB，
∴CF×25=7×24，解得CF=$\frac{168}{25}$，
∴直径为：$\frac{168}{25}$×2=$\frac{336}{25}$．

点评 本题主要考查了三角形的外心与内心，解题的关键是正确的找出外心与重心．