Question

19．设△ABC的垂心为H，BC、AH中点为M、N，以AH为直径的圆交MN于点P，求证：AP平分∠BAC．

Answer 1

分析 先作△ABC的外接圆，连接BO并延长交⊙O于点D，连接OA、OM、CD、AD、CH，∴CD⊥BC，AD⊥AB，由点H是△ABC的垂心，易得四边形AHCD是平行四边形，由中位线及外接圆圆心易证四边形AOMN是平行四边形，可得∠OAB=∠CAH，可得出∠OAP+∠OAB=∠PAN+∠CAH，即可求出∠PAB=∠PAC．

解答 证明：如图，作△ABC的外接圆，连接BO并延长交⊙O于点D，连接OA、OM、CD、AD、CH，

∴CD⊥BC，AD⊥AB，
∵点H是△ABC的垂心
∴AH⊥BC，CH⊥AB
∴AH∥CD，AD∥CH
∴四边形AHCD是平行四边形
∴AH∥CD，AH=CD
∵O是△ABC外接圆圆心，OM⊥BC
∴BM=CM
∴OM是△BCD的中位线
∴OM=$\frac{1}{2}$CD，OM∥CD，
∴OM∥AH，OM=$\frac{1}{2}$AH=AN，
∴四边形AOMN是平行四边形，
∴MN∥OA，
∴∠OAP=∠APN=∠PAN，
∵∠OAB=$\frac{1}{2}$（180°-∠AOB）=90°-∠ACB=∠DCA=∠CAH，
∴∠OAP+∠OAB=∠PAN+∠CAH，即∠PAB=∠PAC，
∴AP平分∠BAC．

点评 本题主要考查了三角形的重心及三角形的外心，解题的关键是正确的作出辅助线，利用圆周角得出∠OAB=∠CAH．